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- 2021-04-27 发布
湖南省岳阳县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷
时量：120分钟 总分：150分
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ ）
A. B. C. D.
2.在中，“是直角三角形”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花
加工零件数(个)
10
20
30
40
50
加工时间(分钟)
64
69
75
82
90
费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经
检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于
加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列
判断正确的是 ( )
A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)
C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)
4.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号 ，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题错误的是 ( )
A．对于命题 ：，使得，则为，均有
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若是假命题，则均为假命题
D．命题“若则”是正确的
6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程为 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到 的距离是 （ ）
A、 B、8 C、3 D、10
8. 如图所示,在平行六面体中, 为
与的交点.若,则下列向量中与
相等的向量是 ( )
A. B. C． D.
9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于 两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ ）
A. B. C. D.
11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ ）
A. B. C. D.
12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于．当与的斜率存在且倾斜角互补时，的值为 （ ） A. B. C. D.无法确定
二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)
13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出名，将其
成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩
的众数是.
14. 在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1
的概率为 .
15.如图所示,二面角为, 是棱上的点,
分别在半平面内, ， 且
则的长为 .
16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 .
三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线.
(Ⅰ)写出命题的否定形式;
(Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧
棱底面，且各棱长均相等，分别为
棱的中点.
(1)证明平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标
评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，
左、右焦点分别为.
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形,
,对角线与交于点,
底面.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若四棱锥的体积,
求二面角的平面角的正弦值.
22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，
（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；
（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
2019年下学期岳阳县一中高二期中考试
数学试卷
时量：120分钟 总分：150分 命题人：
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ A ）
A. B. C. D.
2.在中， “是直角三角形”是“”的 （ B ）
A．充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
加工零件数 (个)
10
20
30
40
50
加工时间 (分钟)
64
69
75
82
90
3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是 ( B )
A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)
C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)
4. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，抽到的人中，编号落入区间的 人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ C ）
A. B. C. D.
5. 下列命题错误的是 ( D )
A．对于命题 ：，使得，则为，均有
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若是假命题，则均为假命题
D．命题“若则”是正确的
6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程（ B ）
A. B. C. D.
7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到的距离是 （ A ）
A、 C、3 B、8 A、10
8. 如图所示,在平行六面体中, 为
与的交点.若,则下列向
量中与相等的向量是 ( A )
A. B. C． D.
9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( C )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ D ）
A. B. C. D.
11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ C ）
A. B. C. D.
12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物
线于．当与的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为 （ B ）
A. B. C. D.无法确定
二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)
13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是.
14.在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 0.6 .
15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, 分别在半平面内, ， 且则的长为 .
16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 .
三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线.
(Ⅰ)写出命题的否定形式;
(Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.
【解】(Ⅰ)命题的否定形式:
,都有.………………………………………………………5分
(Ⅱ)由为假,即为真,所以,即;
又命题为真,则有,即或;
所以假、真时,,即求.………………………………………………………10分
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点.
(1)证明平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
解析：（1）连接,易知且，所以是平行四边形，所以，又在平面外，所以平面； …………………6分
（2） …………………12分
19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
在该样本的一等品中，随机抽取件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.
解析：（1）
…………………………5分
（2）①该样本中一等品中，随机抽取件产品的所以可能结果为
…………………………8分
②这批样品中综合指标为有，则事件发生的可能结果为共种， ……………12分
20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为.
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.
解答：（1）根据题意，，………………………………… ……………………1分
又离心率，所以…………………………………………………3分
所以椭圆的方程为 ……………………………………………………5分
（2）设，联立直线与椭圆的方程可得，
………………………………………6分
因此， ………………………………7分
根据垂径定理，可得，………………………8分
由已知，可得…………………………………10分
解得，因此直线的方程为………………………………12分
21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形,
,对角线与交于点,
底面.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值.
【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形中,知,
又,所以,故,
即,又底面,得,
且,所以面,即.………………………………………5分
B
C
O
S
A
H
D
x
y
z
(Ⅱ)由,
于是,得.
法一 由两两垂直,故以为原点,
分别以为轴建系如图;
则,
,
设平面的法向量为,则由
得,令,得,即
同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,
则,
又,故.……………………………………………12分
B
C
O
S
A
H
D
x
y
z
法二 过点作于点,连接,则
由知面,
所以(三垂线定理)
所以为二面角的平面角.
由等面积知,
故,,
由余弦定理有,
即,即求.
22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，
（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；
（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
解析：：(1)由题意知当点的横坐标为时，不妨设设，则点的纵坐标为 ……………2分因此， （舍去） 所以抛物线的方程为 …………………4分
(2)①证明：由(1)知．
设
因为，则，
由得，故．
故直线的斜率 …………5分
因为直线和直线平行，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意，得 ………………6分
设，则，.
当时，，
可得直线的方程为， ………………7分
由，
整理可得，
直线恒过点F(1，0)．
当时，直线的方程为，过点．
所以直线过定点 ………………8分
②由①知，直线过焦点，
所以.
设直线的方程为，
因为点)在直线上，
故. ………………9分
设．
直线的方程为，由，得
代入抛物线方程得，
所以，
可求得，. ………………10分
所以点到直线的距离为
则的面积
当且仅当，即时，等号成立．
所以的面积的最小值为. ……………12分