高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数的最值习题精选精讲 12页

三角函数的值域或最值 常见的三角函数最值的基本类型有：‎ ‎（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。‎ ‎（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角　，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。‎ ‎（3）y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。‎ ‎（4）Y=（或y=）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。‎ ‎（5）y=（y=）型，可化归为sin（x+）g（y）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。‎ ‎（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。‎ 一、利用三角函数的有界性．‎ 求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为的形式．在化简过程中常常用到公式：‎ ‎ 例1 、(2000年高考)已知：求的最大值及此时的集合．‎ 解：∵，∴当时， ．此时，即．‎ ‎ 所以的最大值为，此时的集合为．‎ 例2、求函数的值域．‎ 解： ，由得 ‎，解得，所以函数的值域是 二、利用二次函数最值性质 求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为的形式．‎ 例3、求函数的值域．‎ 解：＝＝∵，∴，∴．‎ 例4、（90年高考）求函数的最小值． ‎ 解：设则，所以＝，当时，有最小值．‎ 三、利用均值不等式*‎ 利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．‎ 例6、当时，求的最大值．‎ 解：设（当且仅当时取等号）。所以的最大值为．‎ 四、利用判别式 例7、求函数的值域．‎ 解：①当时，，‎ ‎②当时，，设，则，即，由得，‎ 由①②得函数的值域为．‎ 五、利用数形结合*‎ 形如的函数最值问题，可以看成是连接两点的直线的斜率的最值问题．‎ 例8，求函数的最大值和最小值．‎ 解：本题可转化为圆上动点与定点A（-2，0）连线的斜率的最大值和最小值．如图，当MA与⊙O相切时取得斜率最小值，当PA与⊙O相切时取得斜率最大值，由平面几何知识可得==，即MA的斜率=，PA的斜率=，所以函数的最大值和最小值分别为、．‎ 例1：已知,f（）=sin(cos)的最大值为a,最小值为b，g()=cos(sin)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为 。‎ 例2：函数f(x)=cosx+sinx在区间上的最小值是什么？‎ 例3求函数f()=的最大值与最小值是什么？‎ 由图可知当直线AB处于L1的位置时，斜率取最小值0，当直线处于L2的位置时，斜率取最大值。所以 例4、函数f(x)=的最大值是，最小值是 例5、求y=的最值？‎ 例6、已知f(x)=2cosx+sin2x+a,若x＜2,求a的取值范围。‎ 注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。‎ 高考中的三角函数最值问题解析 三角函数的最值是高考重点考查的内容，求与三角函数有关的最大值、最小值是高考的热点题目。在高考中，主要以选择题、填空题为主，有时也可是解答题的一部分。解答时，要注意灵活运用三角函数的有界性及三角变换。‎ 解析1应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例1 函数y＝的值域是（ ）。‎ A.{－2，4} B.{－2，0，4}C.{－2，0，2，4}D.{－4，－2，0，4}(90全国)‎ ‎ 解析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。当x在第一象限时，函数值为4；当x在第二象限时，函数值为-2；当x在第三象限时，函数值为0；当x在第四象限时，函数值为-2；所以选择B。‎ 解析2直接应用三角函数的有界性解题 例2设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于（ ） （A）（B）（C） （D）-2（2003北京春季）‎ 解析：由于y=cosx的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,,即M+m＝‎ ‎+（）=-2,选D.‎ 练习：函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)区间[a，b]上 。(99全国) A.是增函数 B.是减函数 ‎ C.可以取得最大值M D.可以取得最小值－M（参考答案C）‎ 例3已知函数，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。(2003春季)‎ 分析：本题主要是考查三角函数的基本知识，考查三角变换能力，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 ‎ 解：由cos2x≠0得，解得，k∈Z。 ‎ 所以f(x)的定义域为 {x|x∈R且， k∈Z}。 ‎ 因为f(x)的定义域关于原点对称，且 ， ‎ 所以f(x)是偶函数。 又当（k∈Z）时，， ‎ ‎3cos2x-1‎ ‎=，所以f(x )的值域为{y|-1≤y<或0时，，那么当 时，一定有（ ）.‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎ 分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得 ‎ f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设x <0, 则 – x>0, 由已知得 ‎ f (- x) >1, 所以 0 < ,选 D ‎ 4． 设实数m、n、x、y满足，，其中a、b为正的常数，则的最大值是（　）‎ A．　　　B．　　　C． 　　　 D．‎ ‎ 分析 作换元, , 则 ‎ ，选B 评注 也可以直接利用柯西不等式 ，该不等式用平面向量的数量积易证.设，由立即得证.‎ 练习 已知实数 x, y满足，试求的取值范围.‎ ‎ 解 作换元 x = r cosΦ, y = rsinΦ,r>0,则 ‎ ‎ 得 ，又，所以的取值范围是[2，6]‎ ‎5． 函数的图象如图所示，其定义域为 ‎[-4，4]，那么不等式的解集为 ‎ 。‎ ‎ 分析 函数y = sinx 在区间 或上取正值，在区间 或上取负值，‎ ‎ 在数轴上分别标出函数f (x), sinx在区间[-4，4]上的零点，‎ ‎ ‎ 容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为 .‎ ‎6．非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围.‎ 解：由正弦定理 得 ‎∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形∴ ‎ ‎, 又 , ∴ ‎ ‎∴‎ 故 的取值范围为 ‎7． 如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠AOM＝(60°≤≤120°)，当分别为何值时，取得最大值和最小值．‎ 解：由题意可知：∠OAM＝30°，则∠AMO＝180°－（θ＋30°）‎ 由正弦定理得：＝，‎ 又OA=‎ ‎ ∴ ‎ 同理：‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵60°≤θ≤120°，∴≤2sinθ≤2‎ 故当θ＝60°或120°时，的最小值为；‎ 当θ＝90°时，的最大值为2．‎ ‎8．在锐角中，角A、B、C成等差数列，‎ ‎（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由。‎ 分析（Ⅰ）证明 ‎ ‎（Ⅱ）解 因为A、B、C成等差数列，所以B=‎ ‎ 又=‎ ‎ =‎ ‎ < A-C <，，,‎ ‎ 当A‎ ‎ 所以> 当A>C时，A=，C= ， =>1 ， ‎ ‎ 所以>, 综合得 > ‎