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- 2021-04-27 发布
数学试卷（理科零班、奥赛、补习班）
考试时间：120分钟 分值：150分
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题“，使得”，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．函数y＝的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
4．设函数若方程有且只有一个根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．若，，，则，，的大小关系（ ）
A. B. C. D.
6．函数在区间 上的图象如图所示 ，则下列结论正确的是（ ）
A.在区间上，先减后增且
B.在区间上，先减后增且
C.在区间上，递减且
D.在区间上，递减且
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A.4 B.2 C.3 D.
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9．已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
10．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（ ）
A.2 B. C.3 D.
11．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，b∈，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空5分，共20分）
13．设直线，直线.若，则实数
的值为______，若∥，则实数的值为_______．
14．已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．
15．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
16．已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．
三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）
17．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的面积．
18．已知数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19．已知定义域为的函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）若任意的，不等式恒成立，求实数a
的取值范围．
20．已知直线l：
（1）证明直线l经过定点并求此点的坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，F为棱PA上一点，且，M为AD的中点，四棱锥的体积为．
（1）若，N是PB的中点，求证：平面平面PCD；
（2）是否存在，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为．
22．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值
数学试卷答案（理科零班、奥赛班、补习班）
一、 选择题
C B C B D D A C C B A D
二、 填空题
13.，-4 14. 15. 16.
三、 解答题
17. (1)；；(2)
18. (1) (2)
19. (1) m=2,n=1 (2)
20. (1) (-2,1) (2)
21．（1）详见解析 (2)存在，
解：（1）因为，所以F是AP的中点，又因为N是PB的中点，所以，由四边形ABCD是矩形，得，故，
；
（2）连接PM，过M作交BC于E，由是等边三角形，得，，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴建立空间直角坐标系，
假设存在，满足题意，设，，则，，，，，，则，
设面FMN的法向量为，所以，
取，得，取面PAD的法向量，
由题知：，解得，
所以，存在，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为
22．（1）；（2）；（3）．
（1）由题意得：
，
曲线在处切线为：，即
（2）由（1）知：
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
又，，
由零点存在定理知：在上有一个零点
在上单调递增 该零点为上的唯一零点
（3）由题意得：
为的两个极值点，即为方程的两根
，
，又，解得：
令，
则
在上单调递减
即
即实数的最大值为：