2019届二轮复习合情推理与演绎推理课件（16张）（全国通用） 16页

考点一    归纳推理 考点清单 考向基础 1. 定义:根据某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是 由部分到整体、由个别到一般的推理 . 2. 一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质;从已知的相同性 质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).一般地,如果归纳的个别情 况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可靠. 考向突破 考向一    数的归纳 例1     (2019届江苏海门证大中学检测)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家 研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10, … ,第 n 个三角形数为   =   n 2 +   n ,记第 n 个 k 边形数为 N ( n , k )( k ≥ 3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数     N ( n ,3)=   n 2 +   n , 正方形数     N ( n ,4)= n 2 , 五边形数     N ( n ,5)=   n 2 -   n , 六边形数     N ( n ,6)=2 n 2 - n , …… 可以推测 N ( n , k )的表达式,由此计算 N (10,24)= 　　　     . 解析　 由已知可以推测 N ( n , k )=   n 2 +   n , ∴ N (10,24)=   × 100+   × 10 =1 100-100=1 000. 答案 　1 000 考向二    形的归纳 例2 　下面图形是由小正方形组成的,请观察图1至图4的规律,依此规律, 第 n 个图形中小正方形的个数是 　　　     .   解析 　∵ a 1 =1, a 2 =3, a 3 =6, a 4 =10,∴ a 2 - a 1 =2, a 3 - a 2 =3, a 4 - a 3 =4, …… , a n - a n -1 = n ,等 式两边同时累加得 a n - a 1 =2+3+ … + n ,即 a n =1+2+ … + n =   ,∴第 n 个图 形中小正方形的个数是   . 答案        考点二    类比推理 考向基础 1. 定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由① 　特殊     到② 　特殊     的推理. 2. 一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或者一致性;(2)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).一般情 况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那 么类比得出的命题就越可靠. 类比推理的结论具有偶然性,既可能真,也 可能假 ,它具有十分重要的实用价值,是一种合情推理. 考向突破 考向一    平面解析几何和立体几何的类比 例1 　平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在 三角形中:(1)三角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S =   × 底 × 高; (3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 …… 请类比上述性质,写出空间四面体的相关结论. 解析　 由三角形的性质可类比得空间四面体的相关性质如下: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的体积 V =   × 底面积 × 高; (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面面积的   . 考向二    解析几何中的类比 例2     (2019届江苏启东中学检测)若 P 0 ( x 0 , y 0 )在椭圆   +   =1( a > b >0)外, 过 P 0 作椭圆的两条切线,切点为 P 1 , P 2 ,则切点弦 P 1 P 2 所在的直线方程是   +   =1,那么对于双曲线则有如下命题:若 P 0 ( x 0 , y 0 )在双曲线   -   =1 ( a >0, b >0)外,过 P 0 作双曲线的两条切线,切点为 P 1 , P 2 ,则切点弦 P 1 P 2 所在 直线的方程是 　　　　　     . 答案        -   =1 考点三    演绎推理 考向基础 演绎推理主要的形式是三段论,其一般模式: (1)① 　大前提     ——已知的一般原理, (2)② 　小前提     ——所研究的特殊情况, (3)③ 　结论     ——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 形式可以表示为: 大前提: M 是 P , 小前提: S 是 M , 结论: S 是 P . 它的本质是利用一般性原理推出相应的结论,再用结论之间的联系推导 出结论成立. 考向突破 考向    利用演绎推理进行证明 例　 在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C . 证明　 因为△ ABC 为锐角三角形, 所以 A + B >   ,所以 A >   - B . 因为 y =sin x 在   上是增函数, 所以sin A >sin   =cos B , 同理可得sin B >cos C ,sin C >cos A , 所以sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C . 方法一    利用类比推理解题的方法 在进行类比推理时,不仅要注意   的类比,还要注意   的类比,且要 注意以下两点: (1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体 积等等; (2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面 垂直,边相等对应面积相等等等. 方法技巧 例1     (2019届江苏启东汇龙中学检测)椭圆中心在坐标原点, F 为左焦点, 当   ⊥   时,其离心率为   ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比 “黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e = 　　　     .   解析　 设“黄金双曲线”方程为   -   =1,则 B (0, b ), F (- c ,0), A ( a ,0).在 “黄金双曲线”中,因为   ⊥   ,所以   ·   =0.又   =( c , b ),   =(- a , b ). 所以 b 2 = ac .而 b 2 = c 2 - a 2 ,所以 c 2 - a 2 = ac .在等号两边同除以 a 2 ,得 e =   . 答案        方法二    利用归纳推理解题的方法 1. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类: (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察, 寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差 数列、等比数列等; (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特 殊图形归纳推理得出结论,并用   验证其真伪性. 2. 归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. 例2     (2019届江苏启东检测)有一个奇数组成的数阵排列如下: 　　则第30行从左到右第3个数是 　　　     . 解析 　先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第 一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+ … +60=   -1=929.又第 n 行从左到右的第2个数比第1个数大2 n ,第3个数 比第2个数大2 n +2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3 个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1 051. 答案 　1 051 方法三    利用演绎推理解题的方法 1. 演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集合 M 的所 有元素都具有性质 P , S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P . 2. 应用三段论的注意点:解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前 提,然后再找结论. 例3　 已知二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a >0)的图象与 x 轴有两个不同的交点, 若 f ( c )=0,且0< x < c 时, f ( x )>0. (1)证明:   是 f ( x )=0的一个根; (2)证明:-2< b <-1. 证明 　(1)因为 f ( x )的图象与 x 轴有两个不同的交点, 所以 f ( x )=0有两个不等实根 x 1 , x 2 . 因为 f ( c )=0,所以 x 1 = c 是 f ( x )=0的根. 又 x 1 x 2 =   ,所以 x 2 =   , 所以   是 f ( x )=0的一个根. (2)由 f ( c )=0,得 ac + b +1=0,所以 b =-1- ac .又 a >0, c >0,所以 b <-1. 因为0< x < c 时, f ( x )>0,结合图象(图略)可知0< c <   . 而二次函数 f ( x )的图象的对称轴方程为 x =-   =   <   = x 2 =   , 即-   <   . 又 a >0,所以 b >-2,所以-2< b <-1.