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- 2021-04-27 发布
1.3.1二项式定理
一、选择题
1、(1＋)6(1＋)10展开式的常数项为( )
A．1 B．46 C．4 245 D．4 246
2、如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )
A．3 B．5 C．6 D．10
3、(－)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
4、在(x2－)5的二项展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－10 B．10 C．－5 D．5
5、1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)n·C等于( )
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
6、(2x＋3y)8展开式的项数为( )
A．8 B．9 C．10 D．7
二、填空题
7、若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
8、(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为______．
9、已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.
10、(－)6的展开式中，x3的系数为________．
三、解答题
11、若(＋)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项．
12、已知(－)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中含x的项．
13、求230－3除以7的余数．
以下是答案
一、选择题
1、D [(1＋)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)；
(1＋)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)；
(1＋)6(1＋)10的展开式有77项，
通项为CxCx－＝CCx，
由4r－3s＝0得或或.
故常数项为1＋CC＋CC＝4 246.]
2、B [因为Tk＋1＝C(3x2)n－k(－2x－3)k
＝(－2)k·3n－kCx2n－5k，则2n－5k＝0，即5k＝2n，
所以或….故n的最小值为5.]
3、B [Tk＋1＝Cx·(－)k·x－k
＝C(－)k·x.
若是正整数指数幂，则有为正整数，
∴k可以取0,2，
∴项数为2.]
4、B [∵(x2－)5的二项展开式的通项
Tk＋1＝C(x2)5－k(－)k＝C·(－1)kx10－3k
令10－3k＝4，∴k＝2.
∴x4的系数是C(－1)2＝10.]
5、C [1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)n·C＝(1－2)n＝(－1)n.]
6、B
二、填空题
7、1
解析 由Tk＋1＝C·x9－k·(－)k＝(－a)kCx9－2k，令9－2k＝3，则k＝3，即(－a)3C＝－84，解得a＝1.
8、－5
解析 (1＋x＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2·(－)4＋Cx(－)5＋Cx0(－)6]＝(1＋x＋x2)·(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.
9、1
解析 x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.
10、15
解析 设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·()6－r·()r＝C·x6－r·y·(－y)r·x－＝C·x6－r－·y·(－y)r，
令6－r－＝3，即r＝2，
∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，
系数为C＝＝15.
三、解答题
11、解 由已知条件得：C＋C·＝2C·，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)Tk＋1＝C()8－k()k＝C·2－k·x4－k，
令4－k＝1，得k＝4，
∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.
(2)令4－k∈Z(k≤8)，则只有当k＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝x，T9＝.
12、(1)证明 由题意知第5项的系数为C·(－2)4，
第3项的系数为C·(－2)2，
则＝，
解得n＝8，或n＝－3(舍去)．
通项公式Tk＋1＝C()8－k·(－)k
＝C(－2)k·x.
若Tk＋1为常数项，当且仅当＝0，即5k＝8，且k∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．
(2)解 由(1)知，展开式中含x的项需＝，
则k＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.
13、解 230－3＝(23)10－3＝810－3
＝(7＋1)10－3
＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3
＝7(C79＋C78＋…＋C)－2
＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5.
∴余数为5.