2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版 11页

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学（理）试题 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列说法正确的是： （ ）‎ A．若命题，则； ‎ B．命题已知，若，则或是真命题；‎ C．设，则是的充分不必要条件；‎ D．，如果，则的否命题是，如果，则 ‎3. 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（ ）‎ A． 0条 B．1条 C．2条 D． 3条 ‎4. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入袋中的概率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 展开式中的系数为（ ）‎ A．92 B． 576 C. 192 D．384‎ ‎8. 设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（中用函数来产生的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计的近似值为（ ）‎ A． 3.144 B．3.154 C. 3.141 D．3.142‎ ‎10. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则 ‎（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）‎ A． -4 B． C. 4 D．6‎ ‎12. 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子： ‎ ‎① ② ③ ④‎ 其中正确的式子的序号是（ ）‎ A． ②③ B．①④ C. ①③ D．②④‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为 ．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线方程为 ．‎ ‎15.如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ ‎16.过轴上定点的动直线与抛物线交于两点，若为定值，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，命题，命题已知方程表示双曲线．‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18.高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：）的茎叶图如下：‎ ‎（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；‎ ‎（2）从该班身高超过的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；‎ ‎（3）在两组身高位于（单位：）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于（单位：）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎19. 已知点与点的距离比它的直线的距离小2．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．‎ ‎20.某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成三组，并作出如下频率分布直方图：‎ ‎（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失则取，且的概率等于经济损失落入的频率）。现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为，求的分布列和数学期望．‎ ‎（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 ‎30‎ 捐款不超过500元 ‎6‎ 合计 附：临界值表参考公式：．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，若椭圆与圆相交于两点，且圆在椭圆内的弧长为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）过椭圆的中心作两条直线交椭圆于和四点，设直线的斜率为，的斜率为，且．‎ ‎①求直线的斜率；‎ ‎②求四边形面积的取值范围．‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为曲线上的动点，点在线段上，且满足．‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程是（为参数），其中．与交于点，求直线的斜率． ‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBCCD 6-10: DBBAC 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 91 14. 15. 16.-8‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）若为真命题时：， ∴， ∴；‎ ‎（2）若为真命题时：， ∴，‎ 为真命题，为假命题，则一真一假，即 或，‎ 解得或， ∴的范围为．‎ ‎18.（1）第一组学生身高的中位数为，‎ 第二组学生身高的中位数为；‎ ‎（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件，‎ ‎，‎ ‎∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；‎ ‎（3）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎19.（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；‎ ‎（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，‎ 设直线的方程为，联立方程 ‎，消去，可得，‎ 即，‎ ‎，，‎ 由题意知，即，则，‎ ‎∴， ∵，∴，‎ ‎∴直线的方程为，‎ ‎∴直线过定点，且定点坐标为；‎ 法二：假设存在定点，设定点，‎ ‎∵， ∴， ∴，‎ 又∵在抛物线上，即代入上式，可得， ∴，‎ 又∵三点共线， ∴，∴，‎ ‎∴假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．‎ ‎20.（1）由题意可知，‎ 的所有可能取值为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎2000‎ ‎4000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ ‎10000‎ ‎0.09‎ ‎0.30‎ ‎0.37‎ ‎0.20‎ ‎0.04‎ 元 ‎（2）‎ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 ‎30‎ ‎4‎ ‎34‎ 捐款不超过500元 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 合计 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎， ∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．‎ ‎21.（1）由圆在椭圆内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，的坐标分别为，设，由可得， ∴，‎ 则椭圆方程可记为代入得， ∴，‎ ‎∵， ∴；‎ ‎（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线的斜率显然存在 直线的方程为：，设，联立，‎ 消去，可得，‎ ‎，即，，‎ ‎，‎ ‎∵， ∴，即， ∴；‎ ‎②，‎ 到直线的距离，‎ 四边形面积，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形面积．‎ ‎22.（1）设点的极坐标，点的极坐标，‎ 由题意可知，‎ 由得曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴点的轨迹的直角坐标方程为；‎ ‎（2）法一：由直线的参数方程可知，直线过原点且倾角为，‎ 则直线极坐标方程为，联立 ‎， ∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或， ∴或， ∴直线得斜率为或；‎ 法二：由题意分析可知直线的斜率一定存在，且由直线的参数方程可得，直线过原点，设直线的普通方程为，‎ ‎∴到的距离，可得，‎ ‎∴直线得斜率为或．‎ ‎ ‎