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- 2021-04-27 发布
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数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.
【名师点睛】集合基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2.设A、B是非空集合，定义：且.
已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
求出集合中的函数的定义域得到：
，即
可化为或
解得，即
，
则
故选
3.将根式化为分数指数幂是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求得正确选项.
【详解】由于，故.
故选A.
【点睛】本小题主要考查根式化为指数形式，属于基础题.
4.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域求得集合，根据指数函数的值域求得集合，由此求得
【详解】函数的定义域为，函数的值域为，而，故.
故选B.
【点睛】本小题主要考查函数的定义域、函数的值域的求法，考查集合交集和补集的运算，属于基础题.
5.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．
考点：函数的单调性．
6.若函数在区间上是单调递增的,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据实数的不同取值进行分类讨论.利用函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时, ,因为,所以函数是整个实数集上的增函数,故在区间上也是单调递增的,符合题意；
当时，要想函数在区间上是单调递增的只需满足：
,综上所述：实数的取值范围为.
故选D
【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.
7.设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( )
A. m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数
B. m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数
C. m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数
D. m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
【答案】B
【解析】
因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，在(0,1)上，当x增大时，1－x2
减小，ln(1－x2)减小，即f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.
8.当时，幂函数为减函数，则实数（ ）
A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 2或0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义，由求得的可能取值，再由函数的单调性，求得的值.
【详解】由于函数为幂函数，故，解得或.当时，，满足在上递减.当时，，在上递增.所以实数的值为.
故选B.
【点睛】本小题主要考查幂函数的定义和单调性，属于基础题.
9.已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将都转化为，根据的单调性，判断出的大小关系.
【详解】依题意，，.而函数在上递增，故.
故选D.
【点睛】本小题主要考查指数运算，考查根据指数函数单调性比较大小，属于基础题.
10.关于函数的以下三种性质： ①；②；③所对应的函数分别是（ ）
A. ①指数函数、②对数函数、③幂函数 B. ①对数函数、②指数函数、③幂函数
C. ①指数函数、②幂函数、③对数函数 D. ①幂函数、②指数函数、③对数函数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数、幂函数的运算性质，选出正确答案.
【详解】对于①，令，则，所以①为对数函数.
对于②，令，则，所以②为指数函数.
对于③，令，则，所以③为幂函数.
故选B.
【点睛】本小题主要考查对数函数、指数函数和幂函数的运算，属于基础题.
11.函数的零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
令，转为两个函数图像交点个数来判断零点个数.
【详解】令，则，画出的图像如下图所示，由图可知，图像有一个交点，也即有一个零点.
故选B.
【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
12.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】依题意，由此排除A,B选项.而，由此排除D选项.
故选C.
【点睛】本小题主要考查函数图像的确定，主要采用特殊值排除法，属于基础题.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知集合，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】依题意，故.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
14.有下列函数式：①；②；③；④；⑤.其中表示是的函数的表达式的序号是_________.
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
利用函数的定义，对五个表达式逐一分析，由此确定表示是的函数的表达式的序号.
【详解】对于①，，符合函数的定义，故①是函数.
对于②，由于的解集为空集，不符合函数的定义，故②不是函数.
对于③，，符合函数定义，故③是函数.
对于④，对于任意，都有两个与之对应，不符合函数的定义，故④不是函数.
对于⑤，可化为，为一次函数，故⑤是函数.
故答案为①③⑤.
【点睛】本小题主要考查函数的定义，属于基础题.
15.已知函数，则___________
【答案】
【解析】
【分析】
令，解出的值，进而求得的值.
【详解】令，解得，故.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查根据表达式求函数值，属于基础题.
16.已知函数和的图象如图，直线与两函数的图象分别交于A,B两点，若在函数上存在一点C，使得构成等边三角形，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出两点的坐标，由此求得，根据等边三角形的性质，求得点的横坐标，结合两点的横坐标和中点坐标公式列方程，解方程求得的值.
【详解】设.则.设，由于三角形是等边三角形，所以点到直线的距离为，所以，，另根据中点坐标公式有
，所以，解得.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查指数函数图像变换，考查等边三角形的性质，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、简答题（其中17题10分；18、19、20、21、22题均为12分，共70分）
17.已知集合，集合.
（1）若，求和
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：⑴把代入求出，，即可得到和
⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；
解析：（1）若，则．
，
（2）因为 ,
若，则，
若，则或，
综上，
18.求下列各式的值.
（1）；
（2） .
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用对数运算，化简所求表达式；
（2）利用对数运算，化简所求表达式；
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
19.已知函数的定义域为D.
（1）求D；
（2）若函数在D上存在最小值2，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用函数定义域的求法，求得.
（2）根据开口方向，结合对称轴与的位置关系进行分类讨论，由最小值为列方程，解方程求得的值.
【详解】（1）依题意，解得.
（2）函数的开口向上，对称轴为.
当时，在上递增，最小值为，解得.
当时，在上最小值为，不符合题意.
当时，上递减，但在处没有定义，故没有最小值，不符合题意.
综上所述，.
【点睛】本小题主要考查函数定义域求法，考查二次函数最值有关问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
20.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数为增函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.
（2）利用单调性的定义，结合列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，且
，
所以函数奇函数.
（2）任取，由于函数为增函数，故，即
，
即，由于，故，
所以，即，解得.
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的定义和判定，考查利用函数的单调性求参数的取值范围，考查函数单调性的定义，考查运算求解能力，属于中档题.
21.已知函数为偶函数，且有一个零点为2.
（1）求实数a，b的值.
（2）若在上的最小值为－5，求实数k的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数性质求a，再根据零点求b，（2）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分类讨论函数最小值取法，再根据最小值求k的值.
【详解】（1）因为函数为偶函数，所以，即因此，又因为零点为2，所以
（2）,
当<0时，在上的最小值为,舍去，
当>3时，在上的最小值为,舍去，
当03时，在上的最小值为,因为3，所以，
综上.
【点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.
22.已知函数对任意的实数m,n都有,且当时,.
(1)求；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1).
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
(1) 代入求值即可；
(2)利用单调性的定义、充分利用和当时,.即可证明出在R上为增函数；
(3)利用、把不等式转化为两个函数值的大小关系的式子,再利用(2)的结论,可以得到一个不等式,要想这个不等式对任意的恒成立,通过构造函数,利用函数的最值最后求出实数的取值范围.
【详解】（1）令,则,∴.
（2）证明：任取,且.
则,,∵,
∴
∴,∴在R上为增函数.
（3）∵,即
∴,∵,∴.
又∵在R上为増函数,∴
∴对任意的恒成立
令，只需满足即可
当,即时,在上递增
因此,由得,此时；当，即时，
,由得,
此时.
综上,实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明,考查了通过构造函数解决不等式恒成立问题,考查了数学运算能力.