2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第三次月考数学理试题（Word版） 7页

‎2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第三次月考数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设复数是虚数单位，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.下列各命题中，不正确的是( )‎ A．若是连续的奇函数，则 ‎ B．若是连续的偶函数，则 ‎ C．若在上连续且恒为正，则 ‎ D．若在上连续且，则在上恒为正.‎ ‎3.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于( )‎ A．-6 B． C． D．2 ‎ ‎4.易知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为( )‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ ‎5.由函数与函数在区间上的图像所围成的封闭图形的面积为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.将一张等边三角形纸片沿着中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样的方法再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；同理第三次操作得到10个小三角形，若要得到100个小三角形，则需操作的次数是( )‎ A．31 B．32 C.33 D．34‎ ‎8.定义在上的可导函数的导数为，且，则( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10.某校有四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：‎ 甲说：“同时获奖”；乙说：“不可能同时获奖”；‎ 丙说：“获奖”；丁说：“至少一件获奖”.‎ 如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是( )‎ A．作品与作品 B．作品与作品 C.作品与作品 D．作品与作品 ‎ ‎11.若函数有零点，则实数的最大值为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.给出以下命题：‎ 当时，；：函数有3个零点；：若关于的方程有解，则实数的取值范围是；恒成立，其中真命题为( )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，则 ．‎ ‎14.已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，则实数的取值范围为 ．‎ ‎15.若函数是函数的图像的切线，则的最小值是 ．‎ ‎16.已知，对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.‎ ‎(1)求复数；‎ ‎(2)求的模.‎ ‎18. 用分析法证明：当时 ‎ ‎19. 已知函数，‎ ‎(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)当时，若在区间上的最小值为-2，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；‎ ‎20.设，试比较与的大小并证明.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围.‎ ‎22.设函数，.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围. ‎ 南阳一中2018年春期高二年级第三次月考 理科数学答案 一、选择题 ‎1-5:ADCBD 6-10:CCDB10 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14. 15.-1 16.3‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设，所以为实数，可得，‎ 又因为为实数，所以，即.‎ ‎(2)，所以模为.‎ ‎18.证明：当时：要证 只需证 需证 即证 只需证 即证，显然上式成立，所以原不等式成立，即：‎ ‎19.解：(Ⅰ)当时，，‎ 因为，所以切线方程是 ‎(Ⅱ)函数的定义域是 当时，‎ 令得或 当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是 ‎②当，即时，在上的最小，即时，在上单调递增 最小值，不合题意；‎ ‎③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意.‎ 综上所述有，.‎ ‎20.解：当，2时；‎ 当时.‎ 下面用数字归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，即，那么，当时，，即时，不等式也成立.‎ 由①②知，对任何不等式成立.‎ ‎21.解：(1)在区间上单调递增，‎ 则在区间上恒成立.‎ 即，而当时，，故.‎ 所以.‎ ‎(2)令，定义域为.‎ 在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间 上恒成立.‎ ‎ ‎ ‎①若，令，得极值点，‎ 当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在区间上有，不合题意；‎ 当，即时，同理可知，在区间上递增，‎ 有，也不合题意；‎ ‎②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；‎ 要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.‎ 综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.‎ ‎22.解：(Ⅰ)由，‎ 所以.‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.‎ 所以当时，‎ 的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)因为，‎ 所以且.‎ 由(Ⅰ)知①当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，可得当时，，当时，.‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.‎ ‎③当时，当时，，单调递增，当时，单调递减.‎ 所以在处取极大值，符合题意.‎ 综上可知，正实数的取值范围为.‎