重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13 22页

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 线段垂直平分线的有关作图 八年级数学上（RJ） 学习目标 1 ． 能用尺规作已知线段的垂直平分线． ( 难点） 2 ． 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据． 3 ． 能够 运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．（重点） 导入新课 情境引入 如图， A ， B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 讲授新课 线段垂直平分线的画法 一 互动探究 问题 1 ： 有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过折叠，如果这 （两） 个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的 . 问题 2 ： 不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 尺规作图 如图，点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ A B 分析： 我们只要连接点 A 和点 B , 作出线段 AB 的垂直平分线，就可得到点 A 和点 B 的对称轴 . 为此作出到点 A,B 的距离相等的两点，即线段 AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段 AB 的垂直平分线 . A B C D 作法： （ 1 ） 分别以点 A ， B 为圆心，以大 于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 C ， D 两点 . （ 2 ） 作直线 CD . CD 即为所求 . 特别说明： 这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点 . 引例 如图， A ， B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站 . 使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析： 增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到 AB 垂直平分线与公路的交点便是 . 公共汽车站 例 1 如图，已知点 A 、点 B 以及直线 l . (1) 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P ，使 PA ＝ PB .( 保留作图痕迹，不要求写出作法 ) ； (2) 在 (1) 中所作的图中，若 AM ＝ PN ， BN ＝ PM ，求证： ∠ MAP ＝ ∠ NPB . M N A B l 典例精析 解： (1) 如图所示： (2) 在 △ AMP 和 △ BNP 中， ∵AM=PN ， AP ＝ BP ， PM ＝ BN ， ∴△ AMP ≌ △ PNB (SSS) ， ∴∠ MAP ＝ ∠ NPB . M N A B l P 例 2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M ， N 表示大学， OA ， OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计． ( 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ) O N M A B O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上 . 解：如图所示： P 作轴对称图形的对称轴 二 想一想： 下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B 作法： （ 1 ） 找出五角星的一对对称点 A 和 B ，连接 AB ． （ 2 ） 作出线段 AB 的垂直平分线 l ．则 l 就是这个五角星的一条对称轴． l 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 方法总结： 对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对 称 点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴 . 例 3 如图， △ ABC 和 △ A′B′C′ 关于直线 l 对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴 . A B C A ′ B ′ C ′ l 方法总结： 如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上 . 解：延长 BC 、 B'C ' 交于点 P ，延长 AC ， A ' C ' 交于点 Q ，连接 PQ ，则直线 PQ 即为所要求作的直线 l . P Q 练一练： 作出下列图形的一条对称轴 . 和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 1. 如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　） A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线 D 当堂练习 2. 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； 乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 D 3. 如图，与图形 A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴． A B C D 4. 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴. 5. 如图，有 A ， B ， C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置 . B C 学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处 . A 6. 如图，在 4×3 的正方形网格中，阴影部分是由 4 个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂 2 个小正方形，使这 6 个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴． 拓展提升： 课堂小结 线段的垂直 平分线的 有关作图 尺规作图 作对称轴的常见方法 属于基本作图之一，必须熟熟练掌握 (1) 将图形对折； (2) 用尺规作图； (3) 用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线