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- 2021-04-27 发布
2015年三明市普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据，，…，的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，那么等于
A． B．
C． D．
2．已知样本M的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M的数据分别加上4后得到样本N的数据，那么两样本M，N的数字特征对应相同的是
A．平均数 B．众数 C．标准差 D．中位数
3．已知函数，则是
A．奇函数 B． 偶函数
C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
4．已知数列的前项和，则数列的前10项和为
A． B． C． D．
5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且⊥，
则“⊥”是“⊥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为，三棱锥的体积为，则的值为
A． B． C． D．1
7．已知，那么函数的图象不可能是
A B
C D
8．已知函数将函数的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，则该数列的通项公式为
A． B．
C． D．an＝2n－2
9．已知区域，区域，在内随机投掷一点，则点落在区域内的概率是
A． B． C． D．
10．若曲线在点处切线的斜率为，曲线在点处切线的斜率为（），将的值称为这两曲线在，间的“异线曲度”，记作．现给出以下四个命题：
①已知曲线，，且，则；
②存在两个函数，，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；
③已知抛物线，，若，则；
④对于曲线，，当时，若存在实数，使得恒成立，则
的取值范围是．
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11．二项式的展开式中，的系数是，则实数＝_____．
12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则身高在以下的频率为＿＿＿＿＿．
13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围
是 ．
14．过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂
足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．
15．如图，三条平行直线把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线到的距
离相等．点 在直线上，点在直线上，为平
面区域内的点，且满足．
若所在的区域为④,则的取值范围是是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
已知集合，从中随机抽取两个不同的元素，作为复数(为虚数单位)的实部和虚部．
（Ⅰ）求复数在复平面内的对应点位于第一象限的概率；
（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望.
17．（本小题满分13分）
如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 若在上存在点，使得，求二面角的余弦值．
图1
图2
18.（本小题满分13分）
已知点在以为右焦点的椭圆上，斜率为1的直线过点
与椭圆交于两点，且与直线交于点．
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 试判断直线，，的斜率是否成等差数列？若成
等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．
19．（本小题满分13分）
如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中，是的中点，，设
，且．
(Ⅰ) 若，求的长；
(Ⅱ) 求的长，并求的最小值；
(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量的
函数关系式为（单位：万件），试探究是否存在某种规格
的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．
（Ⅲ）将函数的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数 的图象，试证明：当时， ．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵（）．
（Ⅰ）当时，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）当时，曲线在矩阵的对应变换作用下得到曲线：，
求的值．
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)．以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若是直线与曲线的内部的公共点，求的取值范围．
（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知不等式的解集与不等式的解集相同．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最大值及取得最大值时的值．
2015年三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考答案及评分标准
一．选择题：
1—5 BCACB 6—10 DDABC
二、填空题：
11．； 12．； 13．； 14．； 15．；
三．解答题：
16．解：（Ⅰ）从集合中随机抽取两个不同的元素，组成复平面内的对应点有种，其中位于第一象限的点有种，所以所求的概率为. ……………………6分
（Ⅱ）, ． ……………………7分
,，，．
2
5
10
13
……………………11分
∴. ……………………13分
17．解：（Ⅰ）当时，，，
∴，又，
∴平面，而平面，
∴． ……………………5分
（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线为轴，所
在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）知，又，
∴平面，
∵平面，∴平面⊥平面，
过作，则轴， ……………………7分
在中，，，可得．
故，∵，∴为中点，∴．
设平面的法向量为，
则∴ 即 ……………9分
取，则，又平面的法向量为， ………11分
则＝＝．
故二面角的余弦值为． ……………………13分
18．解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以.
整理得，，即，
解得或 (舍)，所以离心率. ……………………5分
（Ⅱ）直线，，的斜率成等差数列，证明如下：
由(Ⅰ）知，，∴椭圆
直线的方程为．代入椭圆方程并整理，
得. ……………………6分
设，直线，，的斜率分别为k1，k2，k3，
则有. ……………………8分
可知的坐标为．
所以
， ……………………12分
∴.
故直线，，的斜率成等差数列． ……………………13分
19．解法一：（Ⅰ）在中，已知，，，由正弦定理得：
，故. ……………………2分
当时, ＝
故的长为． ……………………4分
（Ⅱ）在中，已知，，，由余弦定理得：
……………………5分
……………………7分
因为，所以，即
，
则的最小值为，此时=1，即. ……………………9分
(用其它方法求出的表达式及最小值酌情给分)
（Ⅲ）设x=6θ,,令, ,
问题转化为在是否存在的值，使是, ……………………10分
①当时, |sinx|≤1，必有；
②当时, ，因为，所以，
从而,在恒成立，在区间递减，
于是
综上，在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零.
……………………13分
解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．
（Ⅲ）设x=6θ,，令, ,
问题转化为在是否存在x的值，使得使是, ………………10分
,令，得,
∵,故存在,,使得,
易知在单调递，在(递减，在递增，
故在,,
∵,注意到,且 ,
∴ ,．
这样．……………12分
综上：在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零．
……………………13分
20．解法一：（Ⅰ）当时，，
，
故函数的单调递增区间为. ……………………3分
（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，
则当时，不等式恒成立，即恒成立，、
设()，只需即可．
由， …………………4分
(ⅰ) 当时， ，
当时，，函数在上单调递减，
故成立． ……………………5分
(ⅱ) 当时，由，因，所以，
① 若，即时，在区间上，，
则函数在上单调递增，在上无最大值，
当时，，此时不满足条件；
② 若，即时，函数在上单调递减，
在区间上单调递增，同样在上无最大值，
当时， ，不满足条件． ……………………7分
(ⅲ) 当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，
故成立．……………………8分
综上所述，实数的取值范围是． ……………………9分
（Ⅲ），∴，
当时， …………………10分
∴
.
令，
则.
∵，
∴
.
∴，即. ……………………14分
解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．
（Ⅲ），∴，
当时，， …………………10分
∴
设，
当时，结论成立；
当时，
∵当时，
∴，
当时，上式显然成立.
∴
当时，；当时，
∴
∴，. ……………………14分
解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．
（Ⅲ），∴，
当时， …………………10分
∴
以下用数学归纳法证明不等式.
①当时，左边，右边，不等式成立；
② 假设当时，不等式成立，即，
则
.
也就是说，当时，不等式也成立.
由①②可得，对，都成立. ………………14分
21．（1）解：（Ⅰ），令＝＝0，
得或，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以对应特征值为2的一个特征向量是；
对应特征值为3的一个特征向量是． ……………………4分
（Ⅱ）设曲线上的点在矩阵的作用下变成，则
，即将变换公式代入曲线：可得，
，即，即为曲线，
∴，又，∴． ……………………7分
（2）解法一：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，
所以曲线的直角坐标方程为． ……………………4分
（Ⅱ）法一：∵，而，
∴，∴，
即的范围是． ……………………7分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）联立解得或
∴的范围是． ……………………7分
（3）解：（Ⅰ）不等式的解集为，
所以方程的两根为.
∴ 解得. ……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，＝，
定义域为.
所以.
则，当且仅当时取等号.
故当时，的最大值为. …………………7分