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- 2021-04-27 发布
高2018届2016-2017学年下期半期考试数学（文科）
一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分）
1.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
2.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（ ）
A. B． C. D．
4.已知点为抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A. B． C.2 D．
5.一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
6.若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为（ ）
A. B． C. D．
7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1），，， （2），
（3），， （4），
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8.在满足极坐标和直角坐标互化条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C.圆 D．直线
9.已知函数，其导函数记为，则
（ ）
A．0 B．1 C. 2 D．2017511
10.在区间和分别取一个数，记为，，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
A． B． C. D．
11.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知两条直线和平行，则实数的值为 ．
14.若复数满足，则的取值范围是 ．
15.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
16.设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 .
三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）
17. 某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示.
（1）求毕业大学生月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？
18. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.直线经过点，倾斜角.
（1）写出圆的标准方程和直线的参数方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，求的值.
19.如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
20. 设函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，，恒有成立，求实数的取值范围.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；
（3）在第（2）问的条件下，求面积的最大值.
22.已知函数，（为自然对数的底数）.
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
（2）若时，函数在内是增函数，求的取值范围；
（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.
高2018届2016-2017学年下期半期考试答案（文科）
一、选择题
1-5:ACDBD 6-10:ABCCB 11、12：DA
二、填空题
13.-1 14. 15. 16.
三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）
17.解：（1）月收入在的频率为：
；
（2）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，
则，解得，
根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为；
（3）居民月收入在的频率为，
所以10000人中月收入在的人数为（人），
再从10000人用分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取人.
18.解：（1）的参数方程为（为参数），利用，消去参数可得.
由于经过点，倾斜角，
可得直线的参数方程.
（2）把的参数方程代入圆的方程可得，
，，.
19.解：（1）证明：平面，，
平面，则.又平面，则.
平面.
（2）证明：依题意可知：是中点，
平面，则，而，是中点.
在中，，平面.
（3）平面，，而平面，
平面，平面.
是中点，是中点，且，
平面，，中，.
，.
20.解：（1），
当，即时，，在上是减函数；
当，即时，令，得或；令，得；
当，即时，令，得或；令，得；
综上，当时，在定义域上是减函数；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（2）由（2）知，当时，在上单调递减，
当时，有最大值，当时，有最小值，
对任意，恒有，.
构造函数，则，
，.
函数在上单调增.
，.
21. 解：（1）点在且椭圆上，，
，，
，，椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
代入，整理得.
直线过椭圆的右焦点，方程有两个不等实根.
记，中点，
则，，，
垂直平分线的方程为.
令，得.
，.的取值范围为.
（3），
而，
由，可得.
所以.
又，所以.
所以的面积为.
设，则.
可知在区间单调递增，在区间单调递减.
所以，当时，有最大值.
所以，当时，的面积有最大值.
22.解：（1）当时，，导数，
，
即函数的图象在处的切线斜率为，切点为，
函数的图象在处的切线方程为，
，，
，；
（2）时，函数在的解析式是，
导数，
函数在内是增函数，
即在内恒成立，，
时，.
，故的取值范围是；
（3）假设在点处的切线与在点处的切线平行，
设点，，，
则由题意得点、的横坐标与中点的横坐标相等，且为，
时，，，
在点处的切线斜率为，
由于两切线平行，则，
即，则两边同乘以，得，
，
，，
设，则，①，
令，，则，
，，在上单调递增，
，，这与①矛盾，假设不成立，
故在点处的切线与在点处的切线不平行.