2018-2019学年江苏省马坝高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 11页

江苏省马坝高级中学2018-2019学年第二学期期中考试 ‎ 高二数学试题(理科)‎ ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ 一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎1．若，则 ▲ ．‎ ‎2．用反证法证明“如果a＞b，那么a3＞b3”时假设的内容为___▲_____．‎ ‎3.推理：“①3是整数；②3是自然数；③自然数是整数”中的小前提是____▲____(填序号)．‎ ‎4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的多项式是______▲______.‎ ‎5.已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为 ▲ .‎ ‎6.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2) , B(4,－3,7) , C(0,5,1) , 则BC边上的中线长为 ‎ ▲ ‎ ‎7.设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝ ▲ .‎ ‎8．设， f ()-f ()等于 ▲ ．‎ ‎9.已知i是虚数单位，＝___▲_____.‎ ‎10．用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 ▲ .‎ ‎11. 空间三点A (1 , –1, a ) , B ( 2, a , 0 ) , C ( 1 , a , – 2 ) , 若(‎ ‎–2)与垂直, 则实数a 等于 ▲ .‎ ‎12．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2 019(x)的表达式为 ‎_▲____.‎ ‎13.平行六面体ABCD–A1B1C1D1中，AB =AD=AA1= 1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1= 60°,则AC1的长度等于 ▲ . ‎ ‎14.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有___▲ ___种．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ (1) 计算：；（2）解方程：. ‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，‎ ‎（1）计算：；‎ ‎（2）求λ＋μ的值．‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 用数学归纳法证明:当时,.‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，‎ 有:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①‎，‎ sin(α-β)=sinαcosβ‎ ‎-cosαsinβ…②‎，‎ 由‎①+②‎得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ…③‎，‎ 令α+β=A,α-β=B,‎ 有α=‎A+B‎2‎，β=‎A-B‎2‎，‎ 代入‎③‎得sinA+sinB=2sinA+B‎2‎cosA-B‎2‎.‎ ‎(1)利用上述结论，试求sin‎15‎‎∘‎+sin‎75‎‎∘‎的值；‎ ‎(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cosA-cosB=-2sinA+B‎2‎cosA-B‎2‎.‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1‎ ‎(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,‎ ‎(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.‎ ‎[]‎ 江苏省马坝高级中学2018-2019学年第二学期期中考试 ‎ 高二数学试题(理科)参考答案 一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎1、11 2、 3、② 4、 5、1 ‎ ‎6、3 7、 8、 9、 10、5 ‎ ‎11、 12、 13、 14、9‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ (1) 计算：；（2）解方程：. ‎ 解（1）1568，（2）5‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，‎ ‎（1）计算：；‎ ‎（2）求λ＋μ的值．‎ 解：（1）‎ ‎（2）由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，‎ ＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴ 解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 用数学归纳法证明:当, .‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，‎ 右边＝＝，‎ 左边＝右边，所以等式成立． ‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝， ‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． ‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，‎ 有:sin(α+β)=sinαsinβ+cosαsinβ…①‎，‎ sin(α-β)=sinαcosβ‎ ‎-cosαsinβ…②‎，‎ 由‎①+②‎得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ…③‎，‎ 令α+β=A,α-β=B,‎ 有α=‎A+B‎2‎，β=‎A-B‎2‎，‎ 代入‎③‎得sinA+sinB=2sinA+B‎2‎cosA-B‎2‎.‎ ‎(1)利用上述结论，试求sin‎15‎‎∘‎+sin‎75‎‎∘‎的值；[]‎ ‎(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cosA-cosB=-2sinA+B‎2‎cosA-B‎2‎.‎ ‎(1)由题可得sin15∘+sin75∘=2sin150+7502cos150−7502=2sin450cos(−300)=6√2‎ ‎(2)根据两角和与差的余弦公式，有：‎ cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ…①‎ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ…②‎ 由①−②得cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ…③‎ 令α+β=A，α−β=B有α=A+B2，β=A+B2‎ 代入③得cosA−cosB=‎-2sinA+B‎2‎cosA-B‎2‎.‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝‎ ‎(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎[]‎ 解：(1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，‎ 则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，＝(－3，3，3)，B(3，3，0)，E(3，0，2)，＝(0，－3，2)．‎ 所以cos〈，〉＝＝＝－，‎ 故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为. ‎ ‎(2) B(3，3，0)，＝(0，－3，2)，＝(3，0，－1)．‎ 设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 所以则n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，‎ 设直线BB1与平面BED1F所成角为α，则 sinα＝|cos〈，n〉|＝||＝.‎ 所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为. ‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,‎ ‎(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长