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- 2021-04-27 发布
富锦一中2017-2018学年度第二学期高二期中考试
数学试卷 理科 命题人 常艳梅
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1、 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为 D．都相等且为
2、某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有30件，那么样本容量n为( )
A．50 B．130 C．140 D．70
3、我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B. 338石 C. 169石 D.1365石
4、把5张分别写有数字1,2,3,4,5的卡片混合，再将其任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )
A．0.2 B．0.6 C．0.4 D．0.8
5、具有线性相关关系的变量x、y的一组数据如下表所示.若y与x的回归直线方程为，则m的值是（ ）
x
0
1
2
3
y
-1
1
m
8
A．5.5 B． C．4 D．6
6、同时抛两枚均匀的硬币次,设两枚硬币出现不同面的次数为,则（ ）
A. B. C. D.
7设随机变量的分布列为，则 ( )
A. B. C. D.
8、已知展开式中，各项系数的和与其各二项式系数的和之比为，则等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 7 D. 6
9、的展开式中，的系数为（ ）
A．30 B．60 C．50 D．10
10、设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实根的概率为（ ）
A. B. C. D.
11、小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）
A． B． C． D．
12、在区间上任取两个实数，则函数在区间没有零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）
13、十进制1 234转化为七进制为 ．
14、某小区有1000户,各户每月的用电量近似服从正态分布,则用电量在320度以上的户数估计约为 ．
【参考数据:若随机变量服从正态分布=则=, 】
15、随机变量,且,则_________.
16、在的展开式中，含项的为， 的展开式中含的项
为，则的最大值为__________.
三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其他每题各12分，共70分）
17．（10分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩，如下表：
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程。若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。参考公式： 参考数据：
18．（12分）（1）在区间和上分别任取一个整数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为多少?
（2）在区间和上分别任取一个实数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为多少?
19．（12分）为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
大于40岁
16
小于等于40岁
12
合计
40
已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为.
(1)请将2×2列联表补充完整；
(2)已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
20.（12分）统计全国高三学生的视力情况，得到如图所示的频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列.
（Ⅰ）求出视力在[4.7,4.8]的频率；
（Ⅱ）现从全国的高三学生中随机地抽取4人，用表示视力在[4.3,4.7]的学生人数，写出的分布列，并求出的期望与方差.
[]
21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x﹣y+2=0与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M（0，m），
使|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；
若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数，其中为常数.
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
期中考试答案
一．选择题 1—6 D C C B C A 7--12 A D A B D B
二．填空题
13. 3412（7 14. 23 15. 16.
三．解答题
17. （1）=76，=130，∴==≈﹣13.2，
=﹣=130﹣（﹣13.2）×76≈1133.2，
∴=﹣13.2x+1133.2，x=80，=77；
（2）从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，有=10种方法，选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率为1﹣=．
18. （1）可取1,2,3,4,5,可取2,3,4,故可以构成15个曲线方程,又即,则,故P=;
（2）如图，可构成矩形，又，即，即阴影区域，
则
19. (1)
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
大于40岁
16
4
20
小于等于40岁
8
12
20
合计
24
16
40
(2)ξ可以取0，1，2 P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝，
ξ[]
0
1
2
P
P(ξ＝2)＝＝＝， 故ξ的分布列为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)K2＝≈6.667>6.735，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关．
20．（Ⅰ）前四组的频率分别为：0.01,0.03,0.09,0.27，所以后六组数据的首项为0.27，后六组的频率之和为，
设公差为，则有：，
所以，视力在[4.7,4.8]的频率.
（Ⅱ）视力在[4.3,4.7]的频率为：，，
，
，，
，，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
，
.
21．（1）由已知得，解得，b=，c=，
∴椭圆C的方程为；
（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y=kx+m，
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣8=0．
△=16（8k2﹣m2+2）＞0①，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
由，得，即，即x1x2+y1y2=0，
故8k2=5m2﹣8≥0，代入①式解得m＞或m＜﹣．
22．（1），，，又因为切点（0,1）
所以切线为2x-y+1=0
(2)令，由题得在恒成立，，所以
①若，则时，所以函数在上递增，所以
则，得
②若，则当时，当时，所以函数在
上递减，在上递增，所以，又因为，所以不合题意.
综合得.