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- 2021-04-27 发布
第二节 参数方程
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
(对应学生用书第160页)
[基础知识填充]
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．( )
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t
的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．( )
(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
B [由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]
3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．
x－y－1＝0 [由x＝2＋t，且y＝1＋t，
消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2. ①
由消去t得y2＝8x. ②
联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]
5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. 【导学号：79170372】
[解] 椭圆C的普通方程为x2＋＝1. 2分
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 8分
解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝. 10分
(对应学生用书第161页)
参数方程与普通方程的互化
已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
[解] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 2分
圆C的普通方程为x2＋y2＝16. 4分
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4， 8分
解得－2≤a≤2. 10分
[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．
[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．
[解] 直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为＋＝1， 4分
所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，
若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，
则3－0－a＝0，所以a＝3. 10分
参数方程的应用
(2018·合肥模拟)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0. 4分
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝. 8分
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 10分
[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.
(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值. 【导学号：79170373】
[解] (1)由消去θ，
得圆C的普通方程为x2＋y2＝16. 2分
又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，
所以l的参数方程为
即(t为参数). 4分
(2)把直线l的参数方程
代入x2＋y2＝16，
得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，
所以t1t2＝－11， 8分
由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. 10分
参数方程与极坐标方程的综合应用
(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；1分
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2). 2分
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0). 4分
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π).5分
联立得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ). 6分
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝. 8分
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为. 10分
[规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．
[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[解] (1)C1的普通方程为＋y2＝1， 2分
由于曲线C2的方程为ρsin＝2，
所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，
因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. 4分
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，8分
又d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为. 10分