高考数学一轮复习精品题集之函数 39页

函数 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象 重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义 域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示 分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解． 考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函 数； ③了解简单的分段函数，并能简单应用； 经典例题：设函数 f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H（x）=f（x2+1）； （2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（ m＞0）. 当堂练习：w.w.w.g.k.x.x.c.o.m 1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A． 2( ) , ( )f x x g x x B． 2( ) , ( ) ( )f x x g x x C． 2 1( ) , ( ) 1 1 xf x g x x x     D． 2( ) 1 1, ( ) 1f x x x g x x      2 函数 ()y f x 的图象与直线 xa 交点的个数为（ ） A．必有一个 B．1 个或 2 个 C．至多一个 D．可能 2 个以上 3．已知函数 1() 1 fx x   ，则函数 [ ( )]f f x 的定义域是（ ） A． 1xx B． 2xx C． 1, 2xx   D． 1, 2xx 4．函数 1() 1 (1 ) fx xx  的值域是（ ） A． 5[ , ) 4  B． 5( , ] 4  C． 4[ , ) 3  D． 4( , ] 3  5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中： 1l 表示产品各年年 产量的变化规律； 2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ） （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌； （3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A．（ 1），（2），（3） B．（ 1），（3），（4） C．（ 2），（ 4） D．（ 2），（ 3） 6．在对应法则 , , ,x y y x b x R y R     中,若 25 ,则 2 ，  6． 7 ．函数 ()fx 对 任 何 xR 恒有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   ， 已 知 (8) 3f  ，则 ( 2)f  ． 8．规定记号“  ”表示一种运算，即 a b a b a b a b R    ，、 . 若13k，则函数  f x k x的值域是___________． 9．已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是 x=1； (2) f(x)的最大值为 15；(3) f(x) 的两根立方和等于 17．则 f(x)的解析式是 ． 10．函数 2 5 22 y xx  的值域是 ． 11． 求下列函数的定义域 ： (1) () 12 1 xfx x    (2) 0( 1)() xfx xx   12．求函数 32y x x   的值域． 13．已知 f(x)=x2+4x+3，求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t)． 14．在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有动点 M，从点 B 开始，沿折线 BCDA 向 A 点运动，设 M 点运动的距离为 x， △ABM 的面积为 S． （1）求函数 S=的解析式、定义域和值域； （2）求 f[f(3)]的值． 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ A B C D §2.1.2 函数的简单性质 重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义 证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单 调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象 函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射． 考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇 偶性的含义；并了解映射的概念； ②会运用函数图像理解和研究函数的性质． 经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数 f（x）为增函数，偶函数 g（x）在［0， ＋∞ )上图象与 f（x）的图象重合.设 a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b） ③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 当堂练习： 1．已知函数 f(x)=2x2-mx+3，当  2,x    时是增函数，当  ,2x    时是减函数，则 f(1) 等于 （ ） A．-3 B．13 C．7 D．含有 m 的变量 2．函数 2 2 11() 11 xxfx xx       是（ ） A． 非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C． 偶函数 D． 奇函数 3．已知函数(1) ( ) 1 1f x x x    , (2) ( ) 1 1f x x x    ,(3) 2( ) 3 3f x x x (4) 0( ) () 1( )R xQ fx x C Q     ,其中是偶函数的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．奇函数 y=f（x）（ x≠0），当 x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数 f（x－1）的图象 为 （ ） 5．已知映射 f:A B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意的 Aa ,在 B 中和它对应的元素是 a ,则集合 B 中元素的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．函数 2( ) 2 4f x x tx t    在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是 ． 7 ． 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 (0, ) 上 是 减 函 数 , 则 2( 1)f x x 与 () 3 4 f 的 大 小 关 系 是 ． 8．已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x)是增函数,若 x1<0,x2>0,且 12xx ,则 1()fx 和 2()fx 的大小关系是 ． 9．如果函数 y=f(x+1)是偶函数，那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称． 10．点(x,y)在映射 f 作用下的对应点是 33( , ) 22 x y y x ,若点 A 在 f 作用下的对应点是 B(2,0),则点 A 坐标是 ． 13. 已知函数 2 12 2() xx fx x   ,其中 [1, )x   ，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值． 14．已知函数 2 2 1 1() afx a a x  ，常数 0a 。 （1）设 0mn，证明：函数 ()fx在[]mn， 上单调递增； （2）设 0 mn且 ()fx的定义域和值域都是[]mn， ，求 nm 的最大值． 13.(1)设 f(x)的定义域为 R 的函数,求证: 1( ) [ ( ) ( )] 2 F x f x f x   是偶函数； 1( ) [ ( ) ( )] 2 G x f x f x   是奇函数. (2)利用上述结论，你能把函数 32( ) 3 2 3f x x x x    表示成一个偶函数与一个奇函数之和的 形式． 14. 在集合 R 上的映射: 2 1 :1f x z x   , 2 2 : 4( 1) 1f z y z    . (1)试求映射 :f x y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间; (3) 求函数 f(x)的单调区间. 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.3 单元测试 1． 设集合 P= 04xx ,Q= 02yy ,由以下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的是 （ ）A． 1 2 yx B． 1 3 yx C． 2 3 yx D． 1 8 xy  2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y= 1 x ,其中定义域与值域相同的是 （ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．2)(3) D．(2)(3)(4) 3．已知函数 7( ) 2cf x ax bx x     ,若 (2006) 10f  ,则 ( 2006)f  的值为（ ） A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定 4．设函数 1( 0) () 1 ( 0) x fx x     ，则 ( ) ( ) ( ) () 2 a b a b f a b ab      的值为（ ） A．a B．b C．a、b 中较小的数 D．a、b 中较大 的数 5．已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之间的函数关系中,定义域为（ ） A． 10 4 xx B．  10 2 xx C．  11 42 xx D．  1 1 4 xx 6．已知函数 y=x2-2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是（ ） A．0f(-1) B．f(-1)>f(-2) C．f(1)>f(2) D．f(-2)>f(2) 6．计算. 3 8 15 211[( ) ] ( 4) ( ) 28        ． 7．设 2 21 mn mnx x a     ，求 2 1xx   ． 8．已知 1 () 31x f x m  是奇函数，则 ( 1)f  = ． 9．函数 1( ) 1( 0, 1)xf x a a a    的图象恒过定点 ． 10 ．若函数    0, 1xf x a b a a    的 图 象 不 经 过 第 二 象 限 ， 则 ,ab满 足 的 条 件 是 ． 11．先化简,再求值: (1) 23 2 a b a b a b ,其中 256, 2006ab； (2) 1 1 3 1 2 1 22 2 2[ ( ) ( ) ]a b a b a      ,其中 1 3 8 12, 2 ab   ． 12．(1)已知 x[-3,2]，求 f(x)= 111 42xx 的最小值与最大值． (2)已知函数 2 33() xxf x a  在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值． (3)已知函数 2 2 1( 0, 1)xxy a a a a     在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值． 13．求下列函数的单调区间及值域: (1) ( 1)2( ) ( ) 3 xxfx  ； (2) 12 4 x xy  ； (3)求函数 2 32( ) 2 xxfx    的递增区间． 14．已知 2( ) ( 1) 1 x xf x a a x     (1)证明函数 f(x)在 ( 1, )  上为增函数；(2)证明方程 0)( xf 没有负数解． 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.3 对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换 底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较 同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数 xya 与对数函数 logay x 互为反函数 ,1a o a  ． 经典例题：已知 f（logax）= 2 2 ( 1) ( 1) ax xa   ，其中 a＞0，且 a≠1． （1）求 f（x）； （2）求证：f（x）是奇函数； （3）求证：f（x）在 R 上为增函数． 当堂练习： 1．若 lg 2 ,lg3ab,则 lg 0.18  （ ） A． 22ab B． 22ab C．32ab D． 31ab 2．设 a 表示 1 35 的小数部分，则 2log (2 1)a a  的值是（ ） A． 1 B． 2 C．0 D． 1 2 3．函数 2lg( 3 6 7)y x x    的值域是（ ） A．[1 3,1 3] B．[0,1] C．[0, ) D．{0} 4．设函数 2 00 ,0 ( ) , ( ) 1, lg( 1), 0 xx f x f x x xx       若 则 的取值范围为（ ） A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．( ,9) D．( , 1) (9, )   5．已知函数 1( ) ( ) 2 xfx ，其反函数为 ()gx，则 2()gx 是（ ） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减 B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增 C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减 D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算 2008 3 2log [log (log 8)] = ． 7．若 2.5x=1000,0.25y=1000,求 11 xy  ． 8．函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 3[log (3 )]fx 的定义域为 ． 9．已知 y=loga(2－ax)在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 ． 10．函数 ( )( )y f x x R图 象 恒 过 定 点 (0,1) ，若 ()y f x 存在反函数 1()y f x ，则 1( ) 1y f x的图象必过定点 ． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则 log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数 22(log )(log ) 34 xxy  在区间[2 2,8] 上的最值． (2)已知 2 11 22 2log 5log 3 0,xx   求函数 21 2 4( ) (log ) (log ) 8 xfx x  的值域． 13．已知函数 1( ) log ( 0, 1) 1a mxf x a a x     的图象关于原点对称． (1)求 m 的值； (2)判断 f(x) 在 (1, ) 上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数 f(x)=x2－1(x≥1)的图象是 C1，函数 y=g(x)的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对 称． (1)求函数 y=g(x)的解析式及定义域 M； (2)对于函数 y=h(x)，如果存在一个正的常数 a，使得定义域 A 内的任意两个不等的值 x1， x2 都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数 y=h(x)为 A 的利普希茨Ⅰ类函数．试证明： y=g(x)是 M 上的利普希茨Ⅰ类函数． 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.4 幂函数 重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数 1 23 21, , , ,y x y x y x y y x x      的图像，了解他们的变化情况． 经典例题：比较下列各组数的大小： （1）1.5 3 1 ，1.7 3 1 ，1； （2）（－ 2 2 ） 3 2 ，（－ 10 7 ） 3 2 ，1.1 3 4 ； （3）3.8 3 2 ，3.9 5 2 ，（－1.8） 5 3 ； （4）31.4，51.5. 当堂练习： 1．函数 y＝（x2－2x） 2 1－ 的定义域是（ ） A．{x|x≠0 或 x≠2} B．（－∞，0） （2，＋∞） C．（－∞，0） ［2，＋∞ ） D．（ 0， 2） 3．函数 y＝ 5 2 x 的单调递减区间为（ ） y x0 c1 c2 A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［ 0，＋∞ ］ D．（－∞， ＋∞） 3．如图，曲线 c1, c2 分别是函数 y＝xm 和 y＝xn 在第一象限的图象， 那么一定有（ ） A．nn>0 D．n>m>0 4．下列命题中正确的是（ ） A．当 0  时，函数 yx 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0），（ 1，1） 两点 C．幂函数的 yx 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数 yx 为奇函数，则在定义域 内是增函数 5．下列命题正确的是（ ） 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数 如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同 如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数 6．用“<”或”>”连结下列各式： 0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8 0.40.6 ． 7．函数 y＝ 22 1 mmx － － 在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是_______ _． 8．幂函数的图象过点(2, 1 4 ), 则它的单调递增区间是 ． 9 ．设 x ∈ (0, 1) ， 幂 函 数 y ＝ ax 的 图 象 在 y ＝ x 的 上 方 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ． 10．函数 y＝ 3 4x  在区间上 是减函数． 11．试比较 53 0.75380.16 ,1.5 , 6.25 的大小． 12．讨论函数 y＝x 5 4 的定义域、值域、奇偶性、单调性。 13．一个幂函数 y＝f (x)的图象过点(3, 4 27 ),另一个幂函数 y＝g(x)的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函 y x0 y x0 y x0 （1） （2） （3） 数的图象，观察得 f (x)< g(x)的解集. 14．已知函数 y＝ 4 2215 xx－－ ． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 必修 1 第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 基本初等函数Ⅰ单元测试 1．碘 —131 经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是 8 天(即经过 8 天的时间，有 一 半的碘—131 会衰变为其他元素)．今年 3 月 1 日凌晨，在一容器中放入一定量的碘 —131， 到 3 月 25 日凌晨，测得该容器内还 剩有 2 毫克的碘—131，则 3 月 1 日凌晨，放人该容器 的碘—131 的含量是（ ） A．8 毫克 B．16 毫克 C．32 毫克 D．64 毫克 2．函数 y＝0.5x、 y＝x－2 、y＝log0.3x 的图象形状 如图所示,依次大致是 （ ） A．（ 1）（ 2）（ 3） B．（ 2）（ 1）（ 3） C．（ 3）（ 1）（ 2） D．（ 3）（ 2）（ 1） 3．下列函数中，值域为(－∞,＋∞)的是（ ） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝log ax (a>0, a ≠1) 4．下列函数中，定义域和值域都不是(－∞,＋∞)的是（ ） A．y＝3x B．y＝3x C．y＝x－2 D．y＝log 2x 5．若指数函数 y=ax 在［－1，1］上的最大值与最小值的差是 1，则底数 a 等于 A． 15 2  B． 15 2  C． 15 2  D． 5 2 1 6．当 0(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)b C．(1－a)b>(1－a) 2 b D．(1－a)a>(1－ b)b 7．已知函数 f（x）= 2log ( 0) 3 ( 0)x xx x      ，则 f［f（ 1 4 ）］的值是（ ） A．9 B． 1 9 C．－9 D．－ 1 9 8．若 0＜a＜1，f(x)＝|logax|，则下列各式中成立的是（ ） A．f(2)＞f( 1 3 )＞f( 1 4 ) B．f( )＞f(2)＞f( ) C．f( )＞f(2)＞f( ) D．f( )＞f( )＞f(2) 9．在 f1（x）= 1 2x ，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log 1 2 x 四个函数中，当 x1>x2>1 时， 使 2 1 ［f（x1）+f（x2）］ 0 的解集是（ ） A． (-1,3) B．[-1,3] C．( , 1) (3, )    D． ( , 1] [3, )    2．已知 f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且 m，n 是方程 f(x)=0 的两根，则实数 a,b,m,n 的大小关系可能 是（ ） A． m4 C．x<1 或 x>3 D．x<1 4． 设方程 2x+2x=10 的根为  ,则  （ ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 5．如果把函数 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似的看作直线的一段，设 a≤c≤b，那 么 f(c)的近似值可表示为（ ） A． 1 [ ( ) ( )] 2 f a f b B． ( ) ( )f a f b C.f(a)+ [ ( ) ( )]caf b f a ba    D.f(a)－ [ ( ) ( )]caf b f a ba    6．关于 x 的一元二次方程 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两个不同的实根,且一根大于 3,一根小于 1,则 m 的取值范围是 ． 7． 当 a 时，关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0 两个根在区间[-3,0]中． 8．若关于 x 的方程 4x+a·2x+4=0 有实数解，则实数 a 的取值范围是___________． 9．设 x1,x2 分别是 log2x=4-x 和 2x+x=4 的实根,则 x1+x2= ． 10．已知 32()f x x bx cx d    ,在下列说法中： (1)若 f(m)f(n)<0,且 m0,且 m0,且 m2； (2)求实数 a 的取值范围． 必修 1 必修 1 综合测试 1．设全集 U=R，集合 { }| 1 1A x x x或= < - ? ， { }| ln 0B x x=?，则 ()U ABð 为（ ） A．{ }| 1 0xx-? B．{ }| 0 1xx-2 时, g(t)=f(t)． (2) ①当 -2-t  (t+1)-(-2), 即 t 5 2  时, h(t)= f(t); ②当-2-t< (t+1)-(-2), 即 t 5 2  时, h(t)= f(t+1)． 综上所述: 2 2 6 8( 3) ( ) 1( 3 2) 4 3( 2) t t t g t t t t t                  , 2 2 54 3( ) 2() 56 8( ) 2 t t t ht t t t              14. 解：（1）当 02x时，S=x；当 24x时，S=2；当 46x时，S=6-x。 定义域是 （0，6），值域是（0，2） (2) f[f(3)]=f(2)=2． §2.1.2 函数的简单性质 经典例题： 解析：本题可采用三种解法. 方法一：直接根据奇、偶函数的定义． 由 f（x）是奇函数得 f（－a）=－f（a）， f（－b）=－f（b）， g（a）=f（a）， g（b）=f（b）， g（－a）=g（a）， g（－b）=g（b）． ∴以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0. 又∵f（x）是奇函数又是增函数，且 a＞b＞0，故 f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不 等式中①、③成立.故选 C. 方法二：结合函数图象． 由下图，分析得 f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a）， f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）． 从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选 C． 方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型 f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值 a、 b.如 a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选 C． 答案：C 当堂练习： B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. 2 ( 0) ( ) 2 (0 1) 5 2( 1) tt g t t t t tt          ;7. 2 3( 1) ( ) 4 f x x f   ; 8. 1()fx > 2()fx ;9. x=-1; 10. ( 3,1 ); 11. 解: (1)函数 1( ) 2 2 f x x x    ，设 121 xx时， 12( ) ( )f x f x 12 12 11( ) ( ) 22 xx xx     12 12 1( )(1 ) 0 2 xx xx     ，所以 ()fx在区间[1, ) 上单调递增； (2)从而当 x=1 时， )(xf 有最小值 7 2 ． 12. 解:（1）任取 1x ， ],[2 nmx  ，且 12xx ， 12 122 12 1( ) ( ) xxf x f x a x x    ， 因为 12xx ， 1x ， ，所以 12 0xx  ，即 12( ) ( )f x f x ，故 )(xf 在 ],[ nm 上单调递增． （2）因为 在 上单调递增， )(xf 的定义域、值域都是 ],[ nm ( ) , ( )f m m f n n， 即 nm, 是方程 2 21 1a a ax x  的两个不等的正根 01)2( 222  xaaxa 有两个不等的正根． 所以 04)2( 222  aaa ， 2 2 2 0aa a   1 2a  ∴ ),(,)(3344 2 1 3 162 3 2121  aaamn aa ， ∴ 2 3a 时， mn  取最大值 3 34 ． 13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得 ( ) ( ) ( )f x F x G x= 23(2 3) (3 )x x x   ． 14. 解: (1) 22( ) 4( 2) 1f x x   ； (2)当 ( ,0]x   时， f1(x)单调递减， 当 [0, )x   时， f1(x) 单调递增； 当 ( ,1]z   时， f2(z) 单调递减， 当 [1, )z   时， f1(x)单调递增． (3) 当 ( , 2]x    和 [0, 2]x  时， f(x)分别单调递减； 当 [ 2, )x   和 [ 2, 0]x  分别单调递增． §2.1.3 单元测试 1.C; 2. A; 3.C; 4.C; 5.B; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.D; 11.D; 12.B; 13. 2.5; 14. g(x)=2x-3; 15. 1 或 2; 16. x6-6x4+9x2-2; 17.解: (1)在 ( , 1]  和[1,3] 上分别单调递减; 在[-1,1]和[3, ) 上分别单调递增. (2) 值域是[0,4] 18.(1)证明：对任意 x1、x2∈R，∵a＞0，∴f(x1)+f(x2)－2f( 12 2 xx ) =ax12+x1+ax22+x2－2［a( 12 2 xx )2+ 12 2 xx ］ = 1 2 a(x1－x2)2≥0.∴f( 12 2 xx )≤ ［f(x1)+f(x2)］， ∴f(x)是凹函数. 19.(1)证明：令 x＝y＝0，则 f(0)＋f(0)＝f(0)，故 f(0)＝0. 令 y＝－x，则 f(x)+f(－x)=f( 21 xx x   )=f(0)=0.∴f(－x)＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数． (2)证明：设 x1＜x2∈(－1，1)，则 f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f( 12 121 xx xx   ). ∵x1＜x2∈(－1，1)，∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.因此 12 121 xx xx   ＜0，∴f( 12 121 xx xx   )＞0， 即 f(x1)＞f(x2).∴函数 f(x)在(－1，1)上是减函数． 20.解：(1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)是函数 f(x)= 31x xa   的图象上的两个“稳定点”， ∴ 1 1 1 2 2 2 31 31 x x xa x x xa           ，即有 x12+ax1=3x1－1(x1≠－a)，x22+ax2=3x2－1(x2≠－a). 有 x12+(a－3)x1+1=0(x1≠－a)，x22+(a－3)x2+1=0(x2≠－a)． ∴x1、x2 是方程 x2+(a－3)x+1=0 两根，且 ∵x1， x2≠－a，∴x≠－a， ∴方程 x2+(a－3)x+1=0 有两个相异的实根且不等于－a． ∴ 2 2 ( 3) 4 1 0, ( ) ( 3)( ) 1 0. a a a a                ∴a＞5 或 a＜1 且 at≠－ 1 3 ． ∴a 的范围是(－∞，－ )∪(－ ，1)∪(5， ∵f(x)是 R 上的奇函数， ∴f(－0)=－f(0)，即 f(0)=0.∴原点(0，0)是函数 f(x)的“稳定点”，若 f(x)还有稳定点(x0，y0)， 则∵f(x)为奇函数，f(－x0)=－f(x0)，f(x0)=x0，∴f(－x0)=－x0，这说明：(－x0，－x0)也是 f(x)的“稳定点”．综上所述可知，f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点 也是其“稳定点”， ∴它的个数为奇数． §2.2 指数函数 经典例题： 解：由题意可知，函数 y=3 322  xx 的定义域为实数 R．设 u=－x2+2x+3（x∈R），则 f（u） =3u， 故原函数由 u=－x2+2x+3 与 f（u）=3u 复合而成．∵f（u）=3u 在 R 上是增函数，而 u=－ x2+2x+3 =－（x－1）2+4 在 x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数． ∴y=f（x）在 x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数． 又知 u≤4，此时 x=1，∴当 x=1 时，yam=f（1）=81，而 3 ＞0， ∴函数 y=f（x）的值域为（0，81） 当堂练习： 1.A ; 2. C ; 3. B ;4. A ;5. A ; 6. 1 ;7. 2 nm mna  ;8. 1 4 ;9. （1，0）;10. 1, 1ab; 11.(1) 原式= 1 1 1 1 1 12 3 2 3 2 872 2 2 2 2 2{ [ ( ) ] } { [ ] } 128a b a a b a a b a b b a b     (2)原式= 1 2 2 3 3 4a b ab a a b     4 8 122 ( ) 42    12. (1) 解：f(x)= 21 1 1 31 4 2 1 2 1 (2 ) 4 2 2 4 x x x x xx              , ∵ x  [-3,2], ∴ 1 28 4 x ．则当 2-x= 2 1 ,即 x=1 时,f(x)有最小值 4 3 ；当 2-x=8,即 x=-3 时，f(x)有最大值 57． (2)解:设 2233( ) 3 3 ( ) 24 g x x x x      ,当 x [0,2]时, max min 3( ) 3, ( ) 4 g x g x , 当 01 时, 3 8, 2aa.综上所述,a=2． (3)原函数化为 2( 1) 2xya   ,当a>1时，因 [ 1,1]x  ,得 1[ , ]xa a a ,从而 2( 1) 2 14, 3aa    , 同理, 当 01 时，f(x) 在 (1, ) 上单调递减; 当 01 从而 -lga>lgc,得 lg(ac)<0, 01ac   ． 19.(1)它是偶函数； (2) 函数 f (x)在 x∈[0, ＋∞]上是单调递增函数； (3) 2y＝ex＋e－x, ∴e2x－2yex＋1＝0, 解得 ex＝y＋ 2 1y  , ∴ 12( ) ln( 1)f x x x    , x≥1． 20.（1）由 0xxab,∴ ( ) 1xa b  , 1a b  ．∴ x＞0, ∴ 定义域为（0，＋∞）． （2）设 210xx，a＞1＞b＞0,∴ 21xxaa 12xxbb 21xxbb   ∴ 2 2 1 1 0x x x xa a a b    ∴ 22 11 1 xx xx ab ab    ．∴ 21( ) ( ) 0f x f x． ∴ ()fx在（0，＋∞）是增函数． （3）当 (1x  ，＋∞) 时， ( ) (1)f x f ，要使 ( ) 0fx ，须 (1) 0f  ， ∴ a-b≥1． §2.5 函数与方程 经典例题：解：设 y=|x2－2x－3|和 y=a，利用 Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作 出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当 a=0 或 a ＞4 时，有两个实根；当 a=4 时，有三个实根；当 0＜a＜4 时，有四个实根． 当堂练习： 1.C ; 2. A ; 3. C ;4. C ;5. C ; 6. 21 4 m  ; 7. 15 8 2 a ; 8.a≤－4; 9. 4; 10. (2); 11.设 f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当 0 (4) 0 m f    或 0 (4) 0 m f    时,符合题意 从而得 19 0 13 m   . 12. （1）设抛物线与 x 轴相交于点(x1,0),(x2,0),则 12 21, ( 1) axx aa   12 1 ( 1) xx aa   , 得 2 2 1 2 1 1 2 1( ) 4 ( 1) l x x x x x x aa        ； （2） 1 2 3 1 1 1 1 2 2 3 ( 1)nl l l l nn            = 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1nn        = 1 n n  13.（1）由 22( ) ( ) 2 0, (1) 0g x bx f x ax bx c ax bx c f a b c           与 得 ， 2, 0, 0, 4 0,a b c a c b ac        从而 即函数 ( ) ( )f x g x与 的图象交于不同两点 A，B； （2） , , , 2 , 2,bc a b a b c a c a b a b a             即 得 知函数 F（x）在[2，3]上为增函 数， (2) 3 3 9, (3) 8 5 21, 2, 1;F a b F a b a b       解得 （3）设方程 12 2 12 12 2 ( ) 2 0 , , bxx aF x ax bx c x x cxx a             的两根为 得 2 2 2 1 1 1 2 1 2 13| | ( ) 4 4[( ) ], 24 cA B x x x x a       1, , , ( 2, ), 2 ca b c b a c a a c c a            由 得 设 22 11 13| | ( ) 4[( ) ], 24 ccA B h aa     的 对 称 轴 为 11, ( ) ( 2, ) 22 ccxh aa     在 上 是 减 函 数 2 1 1 1 1| | (3,12), | | ( 3, 2 3).A B A B  得 14.解:原方程转化为 10 30 0 ( 1)(3 ) x x ax x x a x            ,即方程 x2-5x+a+3=0 在区间（1,3）内是否有根,由 0 得: 13 4 a  ,设 f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是 5 2 x  ,若 (1) 1 0 (3) 3 0 fa fa        得有一根在区间（1,3） 内,即当  13(1,3) 4 a  时,原方程有一根; 若 (1) 1 0 (3) 3 0 0 fa fa          得 13(3, ) 4 a  时,原方程有两根; 13(1, ] 4 a  时, 原方程无解． §2.6 函数模型及其应用 经典例题：解：设 x 年后我国人口总数为 y，则有 y=12·（ 1+0.0125）x，依题意，得 y＞14， 即 12·（ 1+0.0125）x＞14，即（1+0.0125）x＞ 14 12 ． 两边取对数，得 xlg1.0125＞lg14－lg12.所以 x＞ lg14 lg12 lg1.125  ≈12.4． 答：13 年后，即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿． 当堂练习： 1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大于 34; 10. 600 2cm ; 11. (1)依题得， 6 0 1 2 20 1 10 33 tt y tt         (2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时，则 44 13 2013 2  tt ,因而第二次服药应在 11:00； 设第三次服药在第一次服药后 t2 小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和， 即有 ,4)4( 3 2023 2 3 2023 2  tt 解得 t2=9 小时，故第三次服药应在 16:00；设第四次服药在第 一次后 t3 小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、 三次的和， ,4)9()4( 3 2023 2 3 2023 2  tt 解得 t3=13.5 小时，故第四次服药应在 20:30． 12.设每日来回 y 次，每次挂 x 节车厢，由题意，y=kx+b，且当 x=4 时，y=16;当 x=7 时，y=10. 解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖 挂 W 节车厢，则 W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144， ∴当 x=6 时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运 15840 人． 13.解:依题意，价格上涨 x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)= 10000 ab ［－kx2+100(1 －k)x+10000］. (1)取 k= 1 2 ，y= ［－ x2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上 涨 50%时， y 最大为 9 8 ab. (2)因为 y= ［－kx2+100(1－k)x+10000］，此二次函数 开口向下，对称轴为 x= 50(1 )k k  ，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函 数当自变量 x 在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以 ＞0，解之 0＜k＜1． 14.设二次函数为 y=px2+qx+r，则 1 0.05 4 2 1.2 0.35 9 3 1.3 0.7 p q r p p q r q p q r r                , 所以 20.05 0.35 0.7y x x    ,当 x=4 时, y=1.3; 对于函数 xy ab c,由 2 3 1 0.8 1.2 0.5 1.41.3 ab c a ab c b cab c           ,所以 10.8 ( ) 1.4 2 xy     ,当 x=4 时, y=1.35, 显然,用函数 10.8 ( ) 1.4 2 xy     作为模拟函数较好． 函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试 1.D; 2.D; 3.C; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.D; 9.B; 10.D; 11. 5[2, ] 2 ; 12.3; 13. 0，2 或－ 1 17 4  ; 14. FB; 15.（-∞，-1）∪（1，+∞）; 16. 2 2 11( ) log ( ) log ( ) a a f x a x ax 11( log 2)( log ) 22aaxx     21 3 1(log ) 2 2 8a x   ,因 x[2，4], 函数的最小值为 1 8  ,所以 0 ， 1(0) 1 2 2( ) 0 2 f t t= - = - < ， 1 1 1 3( ) (2 1) 1 2 0 2 4 2 4 f t t t= + - + - = - > ， 所以方程 ( ) 0fx= 在区间 ( )1,0 ) 1及(0, 2 - 上各有一个实数根． 18. (1)函数 ()fx为 R 上的增函数．证明如下： 函数 的定义域为 R，对任意 12,xx RÎ ， 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1x x x x x x f x f x a a，且 有< - = - - - = - + + + + 12 21 2(2 2 ) (2 1)(2 1) xx xx -= ++. 因为 2xy = 是 R 上的增函数， 12xx< ，所以 1222xx- ＜０， 所以 12( ) ( )f x f x- ＜０即 12( ) ( )f x f x< ，函数 ()fx为 R 上的增函数． (2)存在实数 a＝1，使函数 ()fx为奇函数． 证明如下：当 a＝1 时， 2( ) 1 21x fx=- + ＝ 21 21 x x - + . 对任意 x RÎ ， ()fx-= 21 21 x x - - - + ＝ 12 12 x x - + ＝－ 21 21 x x - + ＝－ ()fx，即 ()fx为奇函数． 19. (1)过点 B 作 BD^ AX，D 为垂足，由于 AC＝x，AB＝50，BD＝30 所以 AD＝40，CD ＝40－x， 由勾股定理得 2 2 2 2 2(40 ) 30BC CD BD x= + = - + ．根据题意得： 22 12((40 ) 30 )y k x k x= + - + ， 即 2 2 2 1 2(80 ) 2500y k x k k x k= - - + ( 0x > ). (2)因为 1220kk= ，所以 y 2 2 2 260 2500k x k x k= - + ,当 2 2 60 30 2 k x k - = - = 时， min 21600yk . 答：当 x =30km 时，单位重量货物的总运费最小，最小值为 1600 2k 元． 20. （1）∵ 1( ) 1fx ax     ，∴ 11( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2f a x f a x xx             ，由已知定理 得， ()y f x 的图象关于点 ( , 1)a  成中心对称； （2）首先证明 ()fx在[ 2, 1]aa上是增函数，为此只要证明 在 ( , )a 上是增函数． 设 12x x a    ，则 12 12 1 2 1 2 11( ) ( ) 0 ( )( ) xxf x f x a x a x a x a x          ， ∴ 在 ( , )a 上是增函数． 再由 在[ 2, 1]aa上是增函数得， 当 [ 2, 1]x a a   时， ( ) [ ( 2), ( 1)]f x f a f a   ，即 1( ) [ , 0] 2 fx ； （3）∵构造过程可以无限进行下去，∴ 1() xaf x a ax   对任意 xA 恒成立， ∴方程 1xaa ax    无解，即方程 2( 1) 1a x a a    无解或有唯一解 xa ， ∴ 2 10 10 a aa      或 2 10 1 1 a aa a a      ，由此得到 1a  ． w.w.w.g.k.x.x.c.o.m