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- 2021-04-27 发布
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
, [学生用书P91])
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
1．辨明三个易误点
(1)①0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
1. 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b为( )
A．10 B．－10
C．10 D．－10
D [解析] a·b＝|a|·|b|cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×＝－10.故选D.
2. 设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( )
A．－4 B．4
C． D．－
A [解析] 由a·b＝－2得，5×(－6)＋(－7)t＝－2，－7t＝28，所以t＝－4，故选A.
3. 已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
D [解析] cos θ＝＝＝－.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝，故选D.
4. 已知|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝7，则a·b＝________．
[解析] 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝22＋2a·b＋52＝29＋2a·b.
所以29＋2a·b＝49，
所以a·b＝10.
[答案] 10
5. 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
[解析] 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
[答案] －2
平面向量数量积的运算[学生用书P92]
[典例引领]
(1)设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－ B．－
C． D．
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
【解析】 (1)a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
(2)法一：取，为一组基底，
则＝－＝－，
＝＋＋＝－＋＋
＝－＋，
所以·＝·
＝2－·＋2
＝×4－×2×1×＋＝.
法二：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系，
由于AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，所以CD＝1，等腰梯形ABCD的高为，
所以A(0，0)，B(2，0)，D，C，
所以＝，＝(1，0)，又因为＝，＝，所以E，F，
因此·＝·＝×＋×＝＋＝.
【答案】 (1)D (2)
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
[通关练习]
1．(2016·高考天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B．
C． D．
B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系．
则B，C，A，所以＝(1，0)．
易知DE＝AC，∠FEC＝∠ACE＝60°，则EF＝AC＝，
所以点F的坐标为，
所以＝，
所以·＝·(1，0)＝.故选B.
2．(2017·郑州第二次质量预测)已知点A(－1，1)、B(0，3)、C(3，4)，则向量在方向上的投影为________．
[解析] 由题意知向量＝(1，2)，向量＝(4，3)，设向量与向量的夹角为θ，则cos θ＝，又·＝1×4＋2×3＝10，||＝＝，||＝＝5，所以cos θ＝，所以向量在向量方向上的投影为||cos θ＝2.
[答案] 2
平面向量的夹角与模(高频考点)[学生用书P92]
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．
高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求两向量的夹角；
(2)求向量的模；
(3)两向量垂直问题；
(4)求参数值或范围．
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
(2)(2016·高考全国卷甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
(3)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．
【解析】 (1)由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.
(2)由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，
由(a＋b)⊥b，
得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，
解得m＝8，故选D.
(3)因为 e1·e2＝，
所以|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，所以〈e1，e2〉＝60°.
又因为 b·e1＝b·e2＝1>0，
所以〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.
由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，所以|b|＝＝.
【答案】 (1)A (2)D (3)
(1)利用数量积求解长度的方法
①|a|2＝a2＝a·a；
②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求两个非零向量的夹角的注意事项
①向量的数量积不满足结合律；
②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．
[题点通关]
角度一、三 求两向量的夹角及两向量垂直问题
1．(2017·昆明模拟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．π
A [解析] 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为 |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，所以|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.所以cos θ＝.
又因为 0≤θ≤π，所以θ＝.
角度二 求向量的模
2．(2017·兰州模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．10
B [解析] 因为a⊥b，所以x－2＝0⇒x＝2，所以a＋b＝(3，－1)⇒|a＋b|＝，故选B.
角度四 求参数值或范围
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．
[解析] 如图，由题意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×＝－2，在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2.
[答案] 2
向量数量积的综合应用[学生用书P93]
[典例引领]
(2017·福州模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边b和c的值．
【解】 (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x
＝1＋cos 2x－sin 2x
＝1＋2cos，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)因为f(A)＝1＋2cos＝－1，
所以cos＝－1.
又＜2A＋＜，
所以2A＋＝π，即A＝.
由a＝与余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
因为向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
所以2sin B＝3sin C.
由正弦定理得2b＝3c，②
由①②，可得b＝3，c＝2.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
(2017·广州海珠区摸底考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
[解] (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
因为0b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
, [学生用书P93])
——平面向量与不等式的交汇
(2015·高考福建卷)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
【解析】 以点A为原点，，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．
则A(0，0)，B，C(0，t)，
所以＝(1，0)，＝(0，1)，
所以＝＋＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，
所以点P的坐标为(1，4)，
＝，＝(－1，t－4)，
所以·＝1－－4t＋16＝－＋17≤－4＋17＝13.当且仅当＝4t，
即t＝时取“＝”，
所以·的最大值为13.
【答案】 A
求平面向量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种：一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围)；
二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围)．
已知x，y满足若＝(x，1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是( )
A．1 B．
C． D．
D [解析] 因为＝(x，1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点(1，1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.
, [学生用书P325(独立成册)])
1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为( )
A．12 B．8
C．－8 D．2
A [解析] 因为|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.
2．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．4
B [解析] 由a·(a－b)＝0，可得，a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，|2a＋b|＝2.
3．(2017·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
B [解析] a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝
，所以〈a，b〉＝.
4．(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C． D．－
B [解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝
－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.
5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )
A． B．
C． D．
A [解析] 法一：因为＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，〈，〉＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，
所以[(1－λ)－]·(λ－)＝－，
即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，
所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.
法二：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，所以＝(2，0)，＝(1，)，
所以P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，因为·＝－，
所以(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，
化简得4λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝.
6．已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
C [解析] 因为(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.
(－2)⊥⇒(－2)·＝0，
即·－2·＝0，
所以·＝·＝2·，
即||＝||，而cos A＝＝，
所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．
7．(2017·海口市调研测试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P在AM上，且满足＝3，则·(＋)的值为________．
[解析] 依题意得||＝||＝3，＋＝2＝－，·(＋)＝－2＝－×32＝－6.
[答案] －6
8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
[解析] a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0＜λ＜或λ＞，
所以λ的取值范围是
∪∪.
[答案] ∪∪
9．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为________．
[解析] 设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)．
[答案]
10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．
[解析] 由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.
[答案] 9
11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈
eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
[解] (1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，
所以tan x＝1.
(2)因为 m与n的夹角为，
所以m·n＝|m|·|n|cos ，
即sin x－cos x＝，
所以sin＝.
又因为 x∈，所以x－∈，
所以x－＝，即x＝.
12．(2016·高考江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
[解析] 由已知得＝＋＝＋＝－＝(－)－(＋)＝－，
＝＋＝＋＝－＝(－)－(＋)＝－，
＝＋＝＋＝(－)－(＋)＝－，
＝＋＝＋＝(－)－(＋)＝－，
因为·＝4，所以·＝4，
则·＝·
＝·－2－2＋·
＝·－(2＋2)
＝×4－(2＋2)＝－1，
所以2＋2＝，
从而·＝·
＝－2－2＋·
＝－(2＋2)＋·
＝－×＋×4
＝＝.
[答案]
13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．
[解] (1)法一：b＋c＝(cos β－1，sin β)，
则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．
因为－1≤cos β≤1，
所以0≤|b＋c|2≤4，
即0≤|b＋c|≤2.
当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2，
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
法二：因为|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.
当cos β＝－1时，有b＋c＝(－2，0)，
即|b＋c|＝2，
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
(2)法一：由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)，a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.
因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，
即cos(α－β)＝cos α.
由α＝，得cos＝cos，
即β－＝2kπ±(k∈Z)，
所以β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，
于是cos β＝0或cos β＝1.
法二：若α＝，则a＝.
又由b＝(cos β，sin β)，
c＝(－1，0)得a·(b＋c)＝·(cos β－1，sin β)＝cos β＋sin β－.
因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，
即cos β＋sin β＝1，
所以sin β＝1－cos β，
平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，
解得cos β＝0或cos β＝1.
经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．
14．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长．
[解] (1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A
＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0＜C＜π，
所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得
2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.