【数学】2020届一轮复习（文）通用版5-1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理作业 8页

第五章　平面向量 ‎【真题典例】‎ ‎§5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 平面向 量的线性 运算及其 几何意义 ‎①理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义 ‎2018课标全国Ⅰ,7,5分 平面向量的线性运算 ‎—‎ ‎★★☆‎ ‎2017课标全国Ⅱ,4,5分 平面向量的有关概念 垂直、平行、模长的关系 ‎2014课标Ⅰ,6,5分 平面向量的线性运算 ‎—‎ 平面向量 基本定理 及向量的 ‎①了解平面向量基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对 ‎2018课标全国Ⅲ,13,5分 平面向量的坐标运算 两向量平行的充要条件 ‎★★☆‎ 坐标运算 向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎2016课标全国Ⅱ,13,5分 平面向量的坐标运算 两向量平行的充要条件 ‎2015课标Ⅰ,2,5分 平面向量的坐标运算 ‎—‎ 分析解读　　从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若DO=λAB+μAC,其中λ,μ∈R,则λμ=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.-2 B.-‎1‎‎2‎ ‎ C.-‎2‎ D.‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是(　　)‎ A.λμ=1 B.λμ=-1‎ C.λ-μ=1 D.λ+μ=2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2019届广东普宁一中10月月考,9)在△OAB中,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB,则‎1‎λ+‎1‎μ=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎9‎ D.‎‎9‎‎2‎ 答案　D　‎ 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届湖北重点中学第一次联考,5)已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),则(　　)‎ A.a∥b B.a⊥b C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018河北武邑中学期中,8)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λμ=(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎‎3‎‎3‎ C.3 D.2‎‎3‎ 答案　A　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　向量共线问题的求解方法 ‎1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.1 B.2 C.2‎2‎ D.‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017河北石家庄二中月考,7)M是△ABC所在平面内一点,‎2‎‎3‎MB+MA+MC=0,D为AC的中点,则‎|MD|‎‎|BM|‎的值为(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.1 D.2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2017福建福州3月质检,6)设向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则‎1‎a+‎2‎b的最小值为(　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.9‎ 答案　C　‎ 方法2　利用平面向量基本定理解决问题的方法 ‎1.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,AN=‎1‎‎4‎NC,P是BN上一点,若AP=mAB+‎2‎‎11‎AC,则实数m的值为(　　)‎ A.‎9‎‎11‎ B.‎2‎‎11‎ C.‎3‎‎11‎ D.‎‎1‎‎11‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018天津和平一模,5)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)‎ A.‎6‎‎5‎ B.‎8‎‎5‎ C.2 D.‎‎8‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎3.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=(　　)‎ A.‎5‎‎8‎ B.‎1‎‎4‎ C.1 D.‎‎5‎‎16‎ 答案　A　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎3‎‎4‎AB-‎1‎‎4‎AC B.‎1‎‎4‎AB-‎‎3‎‎4‎AC C.‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎4‎AC D.‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC 答案　A　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.a⊥b B.|a|=|b| ‎ C.a∥b D.|a|>|b|‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　)‎ A.AD B.‎1‎‎2‎AD C.BC D.‎‎1‎‎2‎BC 答案　A　‎ 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=(　　)‎ A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. ‎ 答案　-6‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎　(2014福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于(　　)‎ A.OM B.2OM C.3OM D.4‎OM 答案　D　‎ 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎ B.-‎5‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=(　　)‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ 答案　A　‎ ‎4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ 答案　B　‎ ‎5.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　. ‎ 答案　-3‎ C组　教师专用题组 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎　(2013四川,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=　　　　. ‎ 答案　2‎ 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=(　　)‎ A.(5,7) B.(5,9)‎ C.(3,7) D.(3,9)‎ 答案　A　‎ ‎3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:‎ ‎①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;‎ ‎②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;‎ ‎③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;‎ ‎④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.‎ 上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,n∈R).‎ ‎(1)若m=n=‎2‎‎3‎,求|OP|;‎ ‎(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.‎ 解析　(1)∵m=n=‎2‎‎3‎,AB=(1,2),AC=(2,1),‎ ‎∴OP=‎2‎‎3‎(1,2)+‎2‎‎3‎(2,1)=(2,2),‎ ‎∴|OP|=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎2‎.‎ ‎(2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),‎ ‎∴x=m+2n,‎y=2m+n,‎两式相减,得m-n=y-x.‎ 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:65分 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2019届湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知AB=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,则DE=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎3‎‎4‎b-‎1‎‎3‎a B.‎5‎‎12‎a-‎‎3‎‎4‎b C.‎3‎‎4‎a-‎1‎‎3‎b D.‎5‎‎12‎b-‎‎3‎‎4‎a 答案　D　‎ ‎2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使a‎|a|‎=b‎|b|‎成立的充分条件是(　　)‎ A.a∥b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a=-b 答案　B　‎ ‎3.(2019届宁夏顶级名校10月联考,10)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n=1,则|OC|的最小值为(　　)‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎10‎‎2‎ C.‎5‎ D.‎‎10‎ 答案　C　‎ ‎4.(2019届安徽皖中名校10月联考,9)在△ABC中,点D是AC上一点,且AC=4AD,P为BD上一点,向量AP=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则‎4‎λ+‎1‎μ的最小值为(　　)‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=OA+λAB‎|AB|cosB+AC‎|AC|cosC,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　D　‎ ‎6.(2019届河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,则x+y的最大值是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎3‎‎2‎ D.2‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎7.(2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则‎|AP|‎‎|PM|‎=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎8.(2019届广东惠州第一次调研,13)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎9.(2019届广东深圳外国语学校10月模拟,15)已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,‎1‎‎3‎(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎10.(2018湖北重点高中协作体联考,18)在边长为1的正三角形ABC中,设e1=AB,e2=AC,点D满足BD=‎1‎‎2‎DC.‎ ‎(1)试用e1,e2表示AD;‎ ‎(2)若a=xe1+ye2(x,y∈R,且x≠0),求‎|x|‎‎|a|‎的最大值.‎ 解析　(1)由题知BD=‎1‎‎3‎BC,‎ ‎∴AD=AB+BD=AB+‎1‎‎3‎BC=AB+‎1‎‎3‎(AC-AB)=‎2‎‎3‎AB+‎1‎‎3‎AC=‎2‎‎3‎e1+‎1‎‎3‎e2.‎ ‎(2)∵x,y∈R,且x≠0,∴‎|x|‎‎|a|‎=‎|x|‎‎(xe‎1‎+ye‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎|x|‎x‎2‎‎+y‎2‎+xy ‎=‎1‎‎1+yx‎2‎+‎yx=‎1‎yx‎+‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎,‎ 故当yx=-‎1‎‎2‎时,‎|x|‎‎|a|‎取最大值‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎11.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足MC=‎1‎‎3‎MA+‎2‎‎3‎MB.‎ ‎(1)求证:A,B,C三点共线,并求‎|BA|‎‎|BC|‎的值;‎ ‎(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M‎1+‎2‎‎3‎sinx,sinx,x∈(0,π),且函数f(x)=OA·OM+‎2m-‎‎2‎‎3‎·|AB|的最小值为‎1‎‎2‎,求实数m的值.‎ 解析　(1)∵MC=‎1‎‎3‎MA+‎2‎‎3‎MB,‎ ‎∴MC-MB=‎1‎‎3‎(MA-MB),‎ ‎∴BC=‎1‎‎3‎BA.又∵BC,BA有公共点B,‎ ‎∴A,B,C三点共线.‎ ‎∵BC=‎1‎‎3‎BA,∴‎|BA|‎‎|BC|‎=3.‎ ‎(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M‎1+‎2‎‎3‎sinx,sinx,O(0,0),∴OA=(1,sin x),OM=‎1+‎2‎‎3‎sinx,sinx,‎ ‎∴OA·OM=1+‎2‎‎3‎sin x+sin2x,又AB=(sin x,0),x∈(0,π),∴|AB|=sin x,‎ ‎∴f(x)=OA·OM+‎2m-‎‎2‎‎3‎·|AB|=sin2x+2msin x+1.‎ 设t=sin x.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],‎ ‎∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.‎ ‎①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;‎ ‎②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,ymin=1-m2=‎1‎‎2‎,∴m=-‎2‎‎2‎m=‎2‎‎2‎舍去;‎ ‎③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,ymin=2+2m=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴m=-‎3‎‎4‎,此时m>-1,不合题意.‎ 综上可知,m=-‎2‎‎2‎.‎