2018届二轮复习三角变换与解三角形课件（全国通用） 17页

3.3.2　三角变换与解三角形 -2- 正弦、余弦定理与三角形面积的综合问题 例1(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. -3- 解题心得正弦定理和余弦定理是解三角形时用到的两个重要定 理,其作用主要是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关 系,使问题得以解决. -4- 对点训练1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 2acos B=2c-b. (1)求角A; 解 (1)由2acos B=2c-b及正弦定理,得2sin Acos B=2sin C-sin B. 而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, ∴2cos Asin B=sin B. -5- (2)△ABC是等边三角形.理由如下: -6- 例2已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积 是△ADC面积的2倍. -7- (2)因为S△ABD∶ S△ADC=BD∶ DC,所以BD= . 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,　① AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.　② 因为cos∠ADB=-cos∠ADC, 所以①+2×②得 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 解题心得对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为 两个三角形来解三角形的问题,分别在两个三角形中列出方程,组 成方程组,通过加减消元或者代入消元,求出所需要的量;对于含有 三角形中的多个量的已知等式,化简求不出结果,需要依据题意应 用正弦、余弦定理再列出一个等式,由此组成方程组通过消元法求 解. -8- 对点训练2(2017江苏无锡一模,15)在△ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B= , (1)求边c的长; (2)求角B的大小. 解由①,②组成的方程组得2c2=8c,即c=4. -9- -10- 正弦、余弦定理与三角变换的综合 例3(2017天津,理15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知a>b,a=5,c=6,sin B= . (1)求b和sin A的值; 解 (1)在△ABC中,因为a>b, -11- 解题心得三角形有三条边三个角共六个元素,知道其中三个(其 中至少知道一条边)可求另外三个;若题目要求的量是含三角形内 角及常数的某种三角函数值,在解题时往往先通过正、余弦求出内 角的三角函数值再应用和角公式及倍角公式通过三角变换求得结 果. -12- 对点训练3在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4cos2 -4sin Bsin C=3. (1)求A; (2)若(bc-4 )cos A+accos B=a2-b2,求△ABC的面积. -13- -14- 正弦、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合 例4(2017山西孝义考前热身,理17)已知锐角三角形ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B). (1)求角A,B,C; (2)若a= ,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积. -15- 解 (1)∵A,B均为锐角,sin(A-B)=cos(A+B), ∴sin Acos B-cos Asin B=cos Acos B-sin Asin B, ∴sin Acos B+sin Asin B=cos Acos B+cos Asin B, ∴sin A(cos B+sin B)=cos A(cos B+sin B), ∵B为锐角, 在△ABC中,cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B, ∴(1-sin2B)-(1-sin2C)-sin2A=-sin Asin B, ∴sin2C-sin2B-sin2A=-sin Asin B, -16- 解题心得在解三角形中,若已知条件是由三角形的边及角的正弦、 余弦函数构成的,解题方法通常是通过正弦定理、余弦定理把边转 化成角的正弦,使已知条件变成了纯粹的角的正弦、余弦函数关系, 这样既实现了消元的目的,又可利用三角变换化简已知条件. -17- 对点训练4(2017全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知△ABC的面积为 . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.