【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-4-2参数方程作业 5页

课时跟踪检测（七十七） 参数方程 ‎1.设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围.‎ 解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，‎ 所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝.‎ ‎(2)由圆C的参数方程(θ为参数)，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.‎ 由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，‎ 得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，‎ 即kx－y＋4－3k＝0.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，‎ 即＜2，解得k＞.‎ 即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.‎ 解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α；‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，‎ 故2cos α＋sin α＝0，‎ 于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acos θ(a＞0).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值.‎ 解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)两边同乘以ρ得，‎ 曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0).‎ 由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t，‎ 得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)将代入y2＝2ax，得t2－2at＋8a＝0，‎ 由Δ＞0得a＞4，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，‎ ‎∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，‎ ‎∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.‎ ‎4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线l：y＝kx(x≥0)分别交C1，C2于A，B两点(A，B异于原点)，当k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围.‎ 解：(1)由可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，‎ 即C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ 方程ρcos2θ＝sin θ可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ　(*)，‎ 将代入(*)式，可得x2＝y，‎ 所以C2的直角坐标方程为x2＝y.‎ ‎(2)因为A，B异于原点，‎ 所以联立可得A；‎ 联立可得B(k，k2).‎ 故|OA|·|OB|＝···|k|＝2|k|.‎ 又k∈(1，]，所以|OA|·|OB|∈(2,2].‎ ‎6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值.‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0.‎ 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.‎ ‎(2)由点P的极坐标为，可得点P的直角坐标为(2，－2)，∴点P在曲线C1上.将曲线C1的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得9t2－80t＋150＝0，‎ 设t1，t2是点A，B对应的参数，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝＞0.‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；‎ ‎(2)过点B(－1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值.‎ 解：(1)由直线l过点A，得cos＝a，故a＝，‎ 则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得曲线C1上的点到直线l的距离d＝＝‎ eq f(|r(7)sin(α＋φ)－2|,r(2))，，‎ ‎∴dmax＝＝.‎ 即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.‎ ‎(2)由(1)知直线l的倾斜角为，‎ 则直线l1的参数方程为(t为参数).‎ 易知曲线C1的普通方程为＋＝1.‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程，‎ 得t2＋7t－5＝0，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－，‎ 根据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.‎ ‎8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8cos，直线l与圆C交于A，B两点.‎ ‎(1)若OA⊥OB，求直线l的普通方程；‎ ‎(2)设P(，1)是直线l上的点，若|AB|＝λ|PC|，求λ的值.‎ 解：(1)消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y＝＋m，将圆C的极坐标方程ρ＝8cos的两边同时乘ρ，‎ 得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，‎ 则圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝16，‎ 所以圆C的圆心C(2，2)，半径为4，且经过原点O，数形结合得，若OA⊥OB，则直线l经过圆心C，‎ 即2＋×2＝＋m，解得m＝3，‎ 即直线l的普通方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由P(，1)是直线l上的点，得m＝1，‎ 此时直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 代入到圆C的方程(x－2)2＋(y－2)2＝16中，‎ 得t2＋2t－12＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－2，t1t2＝－12，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2，‎ 又|PC|＝2，|AB|＝λ|PC|，所以λ＝.‎