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- 2021-04-27 发布
2019-2020学年江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合，若，则实数的值为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】分、两种情况讨论即可得出实数的值.
【详解】
因为集合，且，所以或，当时，，适合题意；当时，，，也适合题意，所以实数的值为或.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查根据元素与集合的关系求参数的值及集合中元素的互异性，属基础题.
2．已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.
【详解】
由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据二次根式的性质以及分母不是0，得到关于的不等式组，解出即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得：且，
故函数的定义域是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
4．幂函数的图像过点，且( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设幂函数，将点代入即可求解.
【详解】
设幂函数，将点代入可得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查幂函数解析式的求法，属基础题.
5．三个数，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.
【详解】
因为，，，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属常规考题.
6．若函数的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
那么方程的一个近似根(精确度为)为（ ）
A．1.275 B．1.375 C．1.415 D．1.5
【答案】C
【解析】由函数零点存在定理确定。
【详解】
由二分法，表格中数据说明零点在上，只有C符合。
故选：C。
【点睛】
本题考查零点存在定理，即连续函数，若，则在上至少有一个零点。
7．函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用函数图像上两个点，选出正确选项.
【详解】
由于函数经过点，只有C选项符合.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.
8．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得，递减的比例为，那 么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得石，乙、丁所得之和为石，则“衰分比”与的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设“衰分比”为，乙分得石，丁分得石， 则 ，解得 ，
∴甲分得 石．“衰分比”为，则石，故选D．
【方法点睛】本题考查等比数列的定义与性质、阅读能力转化与划归思想以及新定义问题属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，一定要有信心，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“衰分比”达到考查等比数列的定义与性质.
9．已知函数 (其中，为常数),若,则的值为( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则函数为奇函数，所以，再由即可求解.
【详解】
令，则函数为奇函数，所以，又，所以，因为，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属常规考题.
10．设、，用、表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出，再将已知条件代入即可.
【详解】
因为、，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查对数的运算性质，属基础题.
二、填空题
11．集合的子集的个数是 个；
【答案】8.
【解析】试题分析：根据集合子集个数的计算公式得：集合A的子集个数为个.
故答案为8.
【考点】集合子集个数的计算公式.
12．函数的零点为_________________.
【答案】.
【解析】解方程即可.
【详解】
令，可得，所以函数的零点为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求函数的零点，属基础题.
13．若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数m的值为__________.
【答案】.
【解析】由即可求得.
【详解】
因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以，即.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查二次函数的单调性问题，属基础题.
14．若函数在区间的最大值与最小值之和为2019，则实数a的值为________________.
【答案】.
【解析】分、两种情况讨论函数的单调性，再解方程即可求得.
【详解】
由已知，当时，函数在上单调递减，所以，解得，不合题意；当时，，函数在上单调递增，所以，解得，合适.综上可得，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性和最值，属基础题.
15．记偶函数，的最大值是，则__________
【答案】.
【解析】先根据是偶函数，得，再根据二次函数在上的单调性求出最大值即可.
【详解】
因为是偶函数，所以，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用及二次函数的单调性、最值问题，属常规考题.
16．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[]，则m的取值范围是
【答案】；
【解析】作出函数的图象，由图象可得函数取值在[]上的x的范围，由题函数的定义域为[0，m]，即可得解．
【详解】
解：函数y＝x2﹣3x﹣4的图象如图，
当x时，函数有最小值，
当x＝0或x＝3时函数值为﹣4，
原题给出函数的定义域为[0，m]，
所以，从图象中直观看出，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．
三、解答题
17．设，．
（1）求B；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】先解方程求集合，再直接计算求、.
【详解】
（1）解方程可得或，所以；
（2）；
（3）.
【点睛】
本题主要考查集合的运算，属基础题.
18．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】利用指数及对数的运算性质直接计算即可.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式
.
【点睛】
本题主要考查指数及对数的运算性质，属常规考题.
19．已知函数是上的奇函数.
（1）先求常数的值再求.
（2）判断并用定义证明函数单调性.
【答案】（1），；（2）见解析.
【解析】（1）先由求出的值，进而求出函数的解析式即可求出；（2）利用单调性的定义证明即可.
【详解】
（1）因为是上的奇函数，所以，即，此时，则；（2）函数在上单调递减，任取、，且，则，易知，所以，即，所以函数在上单调递减.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值、函数的求值、利用定义证明函数单调性等问题，试题综合性强，属常规考题.
20．已知函数是奇函数.
（1）求实数的值并求、的值；
（2）画出函数的图象，并写出函数的单调区间；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1），、；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）先通过求出的值及函数的解析式，再代入即可求得、的值；（2）画出函数的图象即可；（3）通过区间为函数增区间的子集列出不等式即可求出实数的取值范围.
【详解】
（1）由已知得，，即，解得，此时，则，；
（2）函数的图象如下图
由图可知函数的单调递增区间为：，单调递减区间为、；
（3）由（2）可知，即，解之得，所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式、分段函数的求值、作分段函数的图象、分段函数的单调性及应用等问题，属中等难度题.
21．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益与投入(单位:万元)满足,乙城市收益与投入(单位:万元)满足,设甲城市的投入为(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
【答案】（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
【解析】(1)当时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,
所以总收益==43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资万元,
所以==
依题意得,解得,
故=,
令,则,
所以==.
当,即万元时,的最大值为44万元,
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.