【物理】2019届一轮复习鲁科版第十四章机械振动学案 16页

基础课1　机械振动 知识点一、简谐运动　单摆、单摆的周期公式 ‎1．简谐运动 ‎(1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。‎ ‎(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。‎ ‎(3)回复力 ‎①定义：使物体返回到平衡位置的力。‎ ‎②方向：总是指向平衡位置。‎ ‎③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。‎ ‎(4)简谐运动的特征 ‎①动力学特征：F回＝－kx。‎ ‎②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。‎ ‎③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。‎ ‎2．简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆 示意图 简谐运 动条件 ‎(1)弹簧质量可忽略 ‎(2)无摩擦等阻力 ‎(3)在弹簧弹性限度内 ‎(1)摆线为不可伸缩的轻细线 ‎(2)无空气等阻力 ‎(3)最大摆角小于10°‎ 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝2π 能量 转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 知识点二、简谐运动的公式和图象 ‎1．简谐运动的表达式 ‎(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。‎ ‎(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢。‎ ‎2．简谐运动的图象 ‎(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图1甲所示。‎ 图1‎ ‎(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图1乙所示。‎ 知识点三、受迫振动和共振 ‎1．受迫振动 在驱动力作用下产生的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。‎ ‎2．共振 做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图2所示。‎ 图2‎ ‎ [思考判断]‎ ‎(1)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　　)‎ ‎(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(　　)‎ ‎(3)做简谐运动的质点，速度增大时，加速度可能增大。(　　)‎ ‎(4)简谐运动的周期与振幅成正比。(　　)‎ ‎(5)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　　)‎ ‎(6)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎　简谐运动 ‎1．简谐运动中路程(s)与振幅(A)的关系 ‎(1)质点在一个周期内通过的路程是振幅的4倍。‎ ‎(2)质点在半个周期内通过的路程是振幅的2倍。‎ ‎(3)质点在四分之一周期内通过的路程有三种情况：‎ ‎①计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处和一个平衡位置)时，s＝A；‎ ‎②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向平衡位置运动时，s>A；‎ ‎③计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向最大位移处运动时，s”、“<”或“＝”), T________T0(填“>”、“<”或“＝”)。‎ 图3‎ 解析　当物块向右通过平衡位置时，脱离前：‎ 振子的动能Ek1＝(ma＋mb)v 脱离后振子的动能Ek2＝mav 由机械能守恒可知，平衡位置处的动能等于最大位移处的弹性势能，因此脱离后振子振幅变小；由弹簧振子的质量减小，根据a＝－可知，在同一个位置物块a 的加速度变大，即速度变化更快，故脱离后周期变小。‎ 答案　<　<‎ ‎3．[简谐运动的对称性]如图4所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3 s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是________或__________。‎ 图4‎ 解析　设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3 s，M→b→M过程历时2 s，由运动时间的对称性知：＝4 s，T＝16 s质点第三次经过M点所需时间：Δt＝T－2 s＝16 s－2 s＝14 s；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M，运动过程历时3 s，M→b→M过程历时2 s，有：＋＝4 s，T＝ s，质点第三次经过M点所需时间：‎ Δt＝T－2 s＝ s－2 s＝ s。‎ 答案　14 s或 s ‎　简谐运动的图象 ‎1．简谐运动的数学表达式 x＝Asin(ωt＋φ)‎ ‎2．根据简谐运动图象可获取的信息 ‎(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图5所示)。‎ 图5‎ ‎(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。‎ ‎(3)‎ 某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定。‎ ‎(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴。‎ ‎(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。‎ ‎1．[应用图象分析运动过程](2017·山西统测)(多选)如图6甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知(　　)‎ 图6‎ A．振子的振动周期等于2t1‎ B．在t＝0时刻，振子的位置在a点 C．在t＝t1时刻，振子的速度为零 D．在t＝t1时刻，振子的速度最大 E．从t1到t2，振子正从O点向b点运动 解析　弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从振动图象可以看出振子的振动周期为2t1，选项A正确；在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项B错误；在t＝t1时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项C错误，D正确；从t1到t2，振子的位移方向沿正方向且在增加，所以振子正从O点向b点运动，选项E正确。‎ 答案　ADE ‎2．[应用图象求解有关物理量](多选)一质点做简谐运动的图象如图7所示，下列说法不正确的是(　　)‎ 图7‎ A．质点振动频率是4 Hz B．在10 s内质点经过的路程是20 cm C．第4 s末质点的速度是零 D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同 E．在t＝2 s和t＝6 s两时刻，质点速度相同 解析　读图可知，该简谐运动的周期为4 s，频率为0.25 Hz，在10 s内质点经过的路程是2.5×4A＝20 cm。第4 s末的速度最大。在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反。在t＝2 s和t＝6 s两时刻之间相差一个周期，故速度相同，选项B、E正确，A、C、D错误。‎ 答案　ACD 反思总结 求解简谐运动问题时，要紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量的变化规律，看到振动图象，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。‎ ‎　单摆周期公式及用单摆测定重力加速度 ‎1．对单摆的理解 ‎(1)回复力：摆球重力沿切线方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。‎ ‎(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ。‎ 两点说明：‎ 当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。‎ 当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋‎ m。‎ ‎2．周期公式T＝2π的两点说明 ‎(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离；‎ ‎(2)g为当地重力加速度。 ‎ ‎3．用单摆测定重力加速度 ‎(1)实验原理与操作 ‎(2)数据处理与分析 ‎①数据处理 a．公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值。‎ b．图象法：作出l－T2图象求g值。‎ ‎②误差分析 产生原因 减小方法 偶然误差 测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差 ‎①多次测量再求平均值 ‎②计时从单摆经过平衡位置时开始 系统误差 主要来源于单摆模型本身 ‎①摆球要选体积小，密度大的 ‎②最大摆角要小于10°‎ ‎1．[单摆周期公式的应用]如图8所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处由静止释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°‎ ‎，则此摆的周期是________。‎ 图8‎ 解析　由A→B的运动时间t1＝ ‎＝，由B→C的运动时间t2＝＝，由对称性知此摆的周期T＝2(t1＋t2)＝π(＋)。‎ 答案　π(＋)‎ ‎2．[单摆模型的应用] (多选)如图9所示，为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段，小球B静止在圆弧轨道的最低点O处，另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下，经时间t与B发生正碰。碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时(　　)‎ 图9‎ A．相间隔的时间为4t B．相间隔的时间为2t C．将仍在O处相碰 D．可能在O点以外的其他地方相碰 E．两球在碰撞的瞬间水平方向上的动量守恒 解析　小球的运动可视为简谐运动。由单摆振动周期公式T＝2π(此处l即为圆弧轨道半径)知，两球周期相同，碰撞后应同时回到平衡位置，即只能在平衡位置处相碰。又由振动的周期性知，两次相碰的间隔时间为2t，综上讨论可知，选项 B、C正确；两球在O点相碰，水平方向上合力为零，遵循动量守恒，故选项E正确。‎ 答案　BCE ‎3．[实验：用单摆测定重力加速度]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：‎ ‎(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图10甲所示，可读出摆球的直径为________cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L。‎ 图10‎ ‎(2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图10乙所示，该单摆的周期是T＝________s(结果保留三位有效数字)。‎ ‎(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线如图10丙，此图线斜率的物理意义是(　　)‎ A．g B. C. D. ‎(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小(　　)‎ A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 解析　(1)摆球的直径为d＝20 mm＋6×mm＝20.6 mm＝2.06 cm。‎ ‎(2)秒表的读数为t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，根据题意 t＝T＝T，所以周期T＝＝2.28 s。‎ ‎(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得 ＝＝k(常数)，所以选项C正确。‎ ‎(4)因为＝＝k(常数)，所以＝＝k，‎ 若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足＝＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变。‎ 答案　(1)2.06　(2)2.28　(3)C　(4)C ‎　受迫振动和共振 ‎1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0‎ 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0‎ 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(0≤5°)‎ 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 ‎2.对共振的理解 ‎(1)共振曲线：如图11所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。‎ 图11‎ ‎(2)受迫振动中系统能量的转化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。‎ ‎1．[受迫振动](多选)如图12所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是(　　)‎ 图12‎ A．只有A、C的振动周期相等 B．C的振幅比B的振幅小 C．C的振幅比B的振幅大 D．A、B、C的振动周期相等 E．C与A发生共振现象 解析　A振动后，水平细绳上驱动力的周期TA＝2π，迫使B、C做受迫振动，受迫振动的频率等于A施加的驱动力的频率，所以TA＝TB＝TC，而TC固＝2π＝TA，TB固＝2π＞TA，故C共振，B不共振，C的振幅比B的振幅大，所以C、D、E正确。‎ 答案　CDE ‎2．[振动曲线分析](多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图13所示，则(　　)‎ 图13‎ A．此单摆的固有周期约为2 s B．此单摆的摆长约为1 m C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 E．若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动 解析　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝‎ ‎2π，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动。故选项A、B、D正确。‎ 答案　ABD ‎3．[生活中的共振现象](2016·孝感统测)(多选)下列说法正确的是(　　)‎ A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确 B．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频 C．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象 D．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌 E．较弱声音可振碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振 答案　BDE ‎1．(2016·海南单科，16)下列说法正确的是________。(填正确答案标号。)‎ A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比 B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变 C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小 D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率 E．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向 解析　根据单摆周期公式T＝2π可以知道，在同一地点，重力加速度g为定值，故周期的平方与其摆长成正比，故选项A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒条件可以知道，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B正确；根据单摆周期公式T＝2π可以知道，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，故选项D正确；若弹簧振子初始时刻的位置在平衡位置，知道周期后，可以确定任意时刻运动速度的方向，若弹簧振子初始时刻的位置不在平衡位置，则无法确定，故选项E错误。‎ 答案　ABD ‎2．(2016·河南洛阳模拟)(多选)如图14所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图14‎ A．甲、乙两单摆的摆长相等 B．甲摆的振幅比乙摆大 C．甲摆的机械能比乙摆大 D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆 E．由图象可以求出当地的重力加速度 解析　由振动图象可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，根据单摆周期公式T＝2π可得甲、乙两单摆的摆长相等，但不知道摆长是多少，不能计算出重力加速度g，故A、B正确，E错误；两单摆的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故C错误；在t＝0.5 s时，乙摆有负向最大位移，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故D正确。‎ 答案　ABD ‎3．[2016·全国卷Ⅱ·34(2)]一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm。O和A是介质中平衡位置分别位于x＝0和x＝5 cm处的两个质点。t＝0时开始观测，此时质点O的位移为y＝4 cm，质点A处于波峰位置；t＝ s 时，质点O第一次回到平衡位置，t＝1 s时，质点A第一次回到平衡位置。求 ‎(1)简谐波的周期、波速和波长；‎ ‎(2)质点O的位移随时间变化的关系式。‎ 解析　(1)设振动周期为T。由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是个周期，由此可知T＝4 s①‎ 由于质点O与A的距离Δx＝5 cm小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t＝‎ s时回到平衡位置，而A在t＝1 s时回到平衡位置，时间相差Δt＝ s，可得波的速度 v＝＝7.5 cm/s②‎ 由λ＝vT得，简谐波的波长 λ＝30 cm③‎ ‎(2)设质点O的位移随时间变化的关系为 y＝Acos(＋φ0)④‎ 将①式及题给条件代入上式得 ⑤‎ 解得φ0＝，A＝8 cm⑥‎ 质点O的位移随时间变化的关系式为 y＝0.08cos(t＋) m⑦‎ 或y＝0.08sin(t＋) m 答案　(1)4 s　7.5 cm/s　30 cm ‎(2)y＝0.08cos(t＋) m或者y＝0.08sin(t＋) m ‎4．(2016·重庆七校联考)据某一科普杂志介绍，在含有某些金属矿物的矿区，其重力加速度稍有偏大，几位同学通过“用单摆测定重力加速度”的实验探究该问题。他们用最小刻度为毫米的直尺测得摆线的长度为92.00 cm，用游标为10分度的卡尺测得摆球的直径如图15所示，摆球的直径为__________cm。将摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，当摆动稳定后，在摆球通过平衡位置时启动秒表，并数下“1”，直到摆球第30次同向通过平衡位置时按停秒表，秒表读数为56 s，则单摆的周期为__________ s，该实验测得当地的重力加速度为__________m/s2。(以上结果均保留3位有效数字)‎ 图15‎ 解析　主尺读数为20 mm，10分度的游标卡尺每一分度表示的长度为0.1 mm，游标卡尺第2条刻度线与主尺对齐，则游标卡尺读数为0.2 mm，摆球的直径为20 mm＋0.2 mm＝20.2 mm＝2.02 cm。由秒表读出单摆做(30－1)次全振动所用的时间t＝56 s，单摆的周期T＝ s＝1.93 s。单摆的摆长l＝摆线的长度＋摆球的半径＝92.00 cm＋1.01 cm＝93.01 cm＝0.930 1 m，由单摆的周期公式T＝2π得，重力加速度g＝，代入数据解得g＝9.85 m/s2。‎ 答案　2.02　1.93　9.85‎