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- 2021-04-27 发布
§11.2 几何概型
最新考纲 考情考向分析
1.了解随机数的意义，能运
用模拟的方法估计概率.
2.了解几何概型的意义.
以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些
简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、
不等式的解集等知识交汇考查.在高考中多以选择、
填空题的形式考查，难度为中档.
1.几何概型的定义
事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)
成正比，而与 A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.
2.几何概型的概率公式
P(A)＝μA
μΩ，其中 μΩ 表示区域 Ω 的几何度量，μA 表示子区域 A 的几何度量.
3.随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似
值的方法就是模拟方法.
(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或
计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机
数的个数 M 和总的随机数个数 N；③计算频率 fn(A)＝M
N作为所求概率的近似值.
概念方法微思考
1.古典概型与几何概型有什么区别？
提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件
有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？
提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每
一点被取到的机会相等.( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × )
(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝1
9.( × )
题组二 教材改编
2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为( )
A.1
2 B.1
3 C.1
4 D.1
答案 B
解析 坐标小于 1 的区间为[0,1)，长度为 1，[0,3]的区间长度为 3，故所求概率为1
3.
3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可
中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
答案 A
解析 ∵P(A)＝3
8，P(B)＝2
8，P(C)＝2
6，P(D)＝1
3，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).
4.设不等式组Error!表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距
离大于 2 的概率是( )
A.π
4 B.π－2
2 C.π
6 D.4－π
4
答案 D
解析 如图所示，
正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分(不
包括 )表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积为 4－π.
因此满足条件的概率是4－π
4 ，故选 D.
题组三 易错自纠
5.在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为5
6，则 m＝________.
答案 3
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当 00，解得 0n.
如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分(不包括 m＝n 这条
直线)的概率即为所求的概率，易知直线 m＝n 恰好将矩形平分，
1A A BDV − 1A ABDV −
∴所求的概率为1
2.
11.已知向量 a＝(－2,1)，b＝(x，y).
(1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷
两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 a·b＝－1 的概率；
(2)若 x，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足 a·b<0 的概率.
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6×6＝36，
由 a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足 a·b＝－1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3 个.
故满足 a·b＝－1 的概率为 3
36＝ 1
12.
(2)若 x，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}.
满足 a·b<0 的基本事件的结果为 A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且－2x＋y<0}.
画出图象如图所示，矩形的面积为 S 矩形＝25，
阴影部分的面积为 S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足 a·b<0 的概率为21
25.
12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等
可能的.如果甲船停泊时间为 1 h，乙船停泊时间为 2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码
头空出的概率.
解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都不需要等待码头空
出”，则 0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h
以上或乙比甲早到达 2 h 以上，即 y－x≥1 或 x－y≥2.故所求事件构成集合 A＝{(x，y)|y－
x≥1 或 x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}.
A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其内部.
所求概率为 P(A)＝A 的面积
Ω 的面积
＝
(24－1)2 × 1
2＋(24－2)2 × 1
2
242
＝506.5
576 ＝1 013
1 152.
13.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1
2的概率为________.
答案 3
4
解析 设任取两点所表示的数分别为 x，y，则 0≤x≤1，且 0≤y≤1，如图所示，则总事件
所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于1
2为事件 A，则 A＝Error!，如图中阴影部分所示，
空白部分所占的面积为 2×1
2×1
2×1
2＝1
4，所以所求两点之间的距离小于1
2的概率 P(A)＝
1－1
4
1 ＝
3
4.
14.如图，在面积为 S 的矩形 ABCD 内任取一点 P，则△PBC 的面积小于S
4的概率为________.
答案 1
2
解析 如图，设△PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF 所在的直线交 AD 于点 E，当△PBC
的面积等于S
4时，1
2BC·PF＝1
4BC·EF，所以 PF＝1
2EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于点 G，
交 CD 于点 H，则满足条件“△PBC 的面积小于S
4”的点 P 落在矩形 GBCH 边界(不包括 BC，
GH)及其内部.
设“△PBC 的面积小于S
4”为事件 A，则构成事件 A 的区域的面积为S
2，而试验的全部结果所
构成的区域面积为 S，所以由几何概型的概率计算公式得 P(A)＝
S
2
S＝1
2.
所以△PBC 的面积小于S
4的概率是1
2.
15.在区间[0,1]上随机取两个数 x，y，记 p 1 为事件“x＋y≥ 1
3”的概率，p 2 为事件“|x－
y|≤1
3”的概率，p3 为事件“xy≤1
3”的概率，则( )
A.p1