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- 2021-04-27 发布
西北大附中 2016—2017 学年下学期期中考试
高二理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 120 分，考试用时 100 分钟。
注:所有题目在答题卡上做答
第 I 卷（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题目要求的）
1．“ ”是“ ”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．若 是假命题，则 （ ）
A. 是真命题， 是假命题 B. 、 均为假命题
C. 、 至少有一个是假命题 D. 、 至少有一个是真命题
3．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋4
2 (n∈N)时，验证 n＝1，左边应取的项
是 ( )
A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
4. 等于 （ ）
A． B． C． 1 D．
5. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 （ ）
A． B． C． D．
6. 把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比
历史先上，则不同的排法有 （ ）
A．48 B．24 C． 60 D．120
7．中心在原点的双曲线，一个焦点为 ，一个焦点到最近顶点的距离是 ，
则双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O 为坐标原点，则向量 的夹角是
（ ）
A．0 B． C． D．
9. 设 ，那么 的值为 （ ）
A： － B：－ C：－ D：-1
10.函数 在区间（1，+∞）内是增函数，则实数 的取值范围 （ ）
A．a≤3 B．a＞3 C． a＜3 D．a≥3
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 小题， 每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。）
11．若 ，其中 、 ， 为虚数单位，则 ___________．
12．在 的展开式中， 的系数为. ___________．(用数字作答)
13．由直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积是___________．
14．将侧棱相互垂直的三棱锥称为 “直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥
的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.
已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.类比此性质，写出直
角三棱锥具有的性质： 。
15．已知椭圆 的焦点重合，则该椭圆
的离心率是 ．
三、解答题（本大题共 4 题，50 分，请写出必要的解答过程）。
16.（10 分） 求直线 和直线 的交点 的坐
标，及点 与 的距离．
17.（12 分）已知函数 .
（1）求函数 的导数；
（2）求曲线 在点 M（p，0）处的切线方程.
18．（14 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，
， 分别是 的中点．
(1)求证： ；
(2)在平面 内求一点 ，使 平面 ， 并证明你的结论；
(3)求 与平面 所成角的正弦值．
19．（14 分）已知椭圆 的焦距为 ，椭圆 上任意一点到椭
圆两个焦点的距离之和为 6．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 （0，1），且 = ，求直线
的方程．
附加题：（本大题共 3 题，20 分，请写出必要的解答过程）
20.（5 分）如图，在杨辉三角形中，斜线 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿
形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前 项之和为 ，则 的值为（ ）
A．66 B．153 C．295 D．361
21. （5 分）已知 为一次函数，且 ，
则 =_______.
22.（10 分）已知函数 在 处取得极值．
⑴ 求函数 的解析式；
⑵ 求证：对于区间 上任意两个自变量的值 ，都有 ；
⑶ 若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
2016-2017 学年下学期期中考试高二(理科)数学参考答案
一、 选择题（每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A C A C A A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
11． 12. 13. 14.直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积
的四分之一． 15.
三．解答题
16．解：将 ，代入 ，得 ，
得 ，而 ，得 ．
17.解：解：（1） .
（2）由（1）得在点 M（p，0）处的切线的斜率 ，
所以在点 M（p，0）处的切线方程为 ，即 .
18．解：以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系(如图)，设
，则 ， ， ， ， ， ，
．
(1) 因为 ，所以 .
(2)设 ，则 平面 ， ，
，所以 ，
，所以
∴ 点坐标为 ，即 点为 的中点．
(3)设平面 的法向量为 ．
由 得， 即 ，
取 ，则 ， ，得 ．
，
所以， 与平面 所成角的正弦值的大小为
19．解：（Ⅰ）由已知 ，： ,解得 ， ,
所以 ，所以椭圆 C 的方程为 。
（Ⅱ）由 得 ，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以 解得 。
设 A（ ， ），B（ ， ）
则 ， ，
计算 ，
所以，A，B 中点坐标 E（ ， ）,
因为 = ，所以 PE⊥AB， ,
所以 ,解得 ,
经检验，符合题意，所以直线 的方程为 或 。
附加题：
20.D 21.
22. 解：解：⑴ ，依题意有， ，
即
解得 .
∴ .
⑵ ∵ ,
∴
当 时， ，故 在区间 上为减函数，
.
∴对于区间 上任意两个自变量的值 ，
都有 .
⑶ ，
∵曲线方程为 ，
∴点 不在曲线上.
设切点为 ，则点 的坐标满足
因 ，故切线的斜率为 ，
整理得 .
∵过点 可作曲线的三条切线，
∴关于 方程 有三个实根.
设 ，则 得， 或 .
∴ 在 上单调递增，同理 在 上单调递减.
∴函数 的极值点为 或 .
又 时， ， 时， .
∴关于 方程 有三个实根的充要条件是
，
解得 .
故所求的实数 的取值范围是 .