2018-2019学年湖北省武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二上学期期中考试数学试题 解析版 25页

绝密★启用前 湖北省武汉外国语学校（武汉实验外国语学校)2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准方程，求出即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 整理抛物线方程得，‎ 焦点在轴，，‎ 焦点坐标为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于简单题.由抛物线的方程求准线与焦点坐标，一定要化为标准方程.‎ ‎2．下列命题中错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题是真命题 B．命题“”的否定是“”‎ C．若为真命题，则为真命题 D．在中，“”是“”的充要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与逆否命题的等价性判断；根据特称命题的否定是全称命题判断；根据特殊值判断；由正弦定理判断.‎ ‎【详解】‎ 命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题，对；‎ 由特称命题的否定是全称命题可得，命题“”的否定是“”正确，对；‎ 当时，为真命题，为假命题，错；‎ 因为“”与“”等价，由正弦定理可得“”与“”等价，所以“”是“”的充要条件，对,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要通过对多个命题真假的判断，综合考查原命题与逆否命题的等价性、特称命题的否定、特殊值的应用以及由正弦定理的应用，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎3．给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由且可得且，所以是的充分不必要条件。‎ ‎【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也渗透了转化思想的考查.‎ ‎4．如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为 的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，‎ 因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得 所以椭圆的离心率 故选 ‎【考点】椭圆的几何性质.‎ ‎5．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出交点坐标，代入双曲线方程，结合，得到关于的方程，化简即可得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 两条曲线交点的连线过点，‎ 两条曲线交点为，‎ 代入双曲线方程得，‎ 又，，‎ ‎，‎ 化简得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.‎ ‎【详解】‎ 输出；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ 退出循环，输出，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. ‎ 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎7．已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵圆： ，圆： ， 动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ， 由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆， ∴其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ‎ ‎ ，选A.‎ ‎8．若坐标原点和分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析： 因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为 设点P（x0，y0），则有(x0≥)，解得y02=(x0≥)，‎ 因为=(x0+2，y0)，=(x0，y0)，所以 =x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+=+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥，‎ 所以当x0=时， 取得最小值 =，故 ‎ 的取值范围是[，+∞)，选B 考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．‎ 点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．‎ ‎9．过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过双曲线的右焦点与渐近线垂直的直线为,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于的不等式，解之可得，从而可得双曲线的离心率的取值范围 .‎ ‎【详解】‎ 过双曲线的右焦点作渐近线垂线，设垂足为，‎ 直线为与双曲线左右两支都相交，‎ 直线与渐近线必定有交点，‎ 因此，直线的斜率要小于直线的斜率，‎ 渐近线的斜率为，‎ 直线的斜率，可得，‎ 即，可得，‎ 两边都除以，得，解得，‎ 双曲线离心率的取值范围为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 ‎ 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.‎ ‎10．双曲线，分别为双曲线的左右焦点，过点作直线与双曲线的右半支交于点，使，则的内切圆半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的，设的内切圆的半径为，设，运用双曲线的定义和勾股定理求出 ，由三角形的面积公式和面积相等，解方程即可得到所求半径.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的，‎ ‎，可得为直角三角形，‎ 设的内切圆的半径为，‎ 设，‎ 由双曲线的定义可得，‎ ‎，‎ 又，‎ 在直角三角形中，可得 ‎，解得，‎ 三角形，，‎ ‎ 的面积，‎ 解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义、方程与几何性质，属于中档题.‎ 解答与双曲线的焦点有关的三角形问题时，往往考虑应用：（1）双曲线的定义；(2)余弦定理；（3）勾股定理.‎ ‎11．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取点，连接，由，可得，推 出，在中，，推出的最小值为的长.‎ ‎【详解】‎ 如图，取点，连接，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，‎ 的最小值为的长，‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. ‎ 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.‎ ‎12．已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程，代入椭圆方程，由由与的面积之比为，可得，根据椭圆的离心率公式及韦达定理即可求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质,即可求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的方程，‎ 设直线的方程为，‎ 联立，整理得，‎ 由椭圆的离心率，则，‎ 代入整理，‎ ‎，①‎ 由与的面积之比为，则，②‎ 则，‎ 面积 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由焦点坐标求得抛物线方程，由焦半径公式求出点坐标，根据韦达定理求出点坐标，再根据焦半径公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 的焦点为，，‎ 抛物线方程为，‎ 由抛物线的定义可得到焦点的距离等于其到准线的距离，‎ ‎，得，‎ 直线方程为与联立，得，‎ ‎，，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎14．从双曲线的左焦点处发出的光线，经过该双曲线左支上一点反射后，反射光线所在直线方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线从焦点射出的光线，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，利用两点式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据光学原理，从左焦点处发出的光线经双曲线反射后，‎ 得到的直线必经过右焦点，‎ 由得，，‎ 的方程为，‎ 化为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程与性质以及直线方程的应用，属于中档题.圆锥曲线光线反射的性质：抛物线从焦点射出的光线，反射后平行设出；椭圆从焦点射出的光线，反射后经过另一个焦点；双曲线从焦点射出的光线，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.‎ ‎15．已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时，，则椭圆的离心率为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，求得切线方程，可得 当时，有最小值，此时，根据两点间距离公式求出与的值，利用余弦定理可得关于的等式，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 不妨设，在第一象限，‎ 由椭圆参数方程可得，‎ 则过的切线方程为，‎ 即 令得；‎ 令得，‎ ‎，‎ 当时，有最小值，此时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由余弦定理得，‎ 化为，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程与离心率以及椭圆的切线方程，属于难题. 过椭圆上一点的切线方程为；过椭圆上一点的切线方程为.‎ ‎16．已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形面积公式将转化为,根据几何意义，可得与圆相切时，最小，最大，利用两角差的正切公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 可得与圆相切时，最小，最大，‎ 即当与圆相切时，比值最小，‎ 在中，，‎ 结合两点坐标，可得，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程与几何性质，三角形面积公式的应用，两角差的正切公式、特殊角的三角函数，意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题方程：表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的方程化简命题可得，利用双曲线的离心率化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若真，则有9-m>2m>0即00且，解得 ， ‎ 因为“”为真命题，“”为真命题，则，q一真一假。‎ ‎①若P真q假，则0