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- 2021-04-27 发布
第35课时 圆锥曲线的综合应用
【学习目的】
1.能根据曲线的方程研究它的几何性质
2.掌握圆锥曲线的简单几何性质
【自主练习】
1.已知曲线当_______时它表示一个圆；当_______时它表示双曲线；当_______时它表示两条平行直线。若该曲线是椭圆，则该椭圆的短轴两端点坐标分别是____________,离心率_____.
2. 已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
3. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的距离之和的最小值为______________
4.设点P在椭圆上，直线的方程为，且点F的坐标为，作与点,若三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆离心率为______________________
5. 已知直线与椭圆相交于A,B两点，且,若椭圆的离心率， 则的最大值为____________.
6. 过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为________．[来源:Z|xx|k.Com]
答案：1. 2.9 3. 4. 5.
6.-2
【典型例题】
例1.设为常数，求点A与椭圆上的点所连线段长的最大值
解：AP2=x2+（y﹣a）2，又x2=25﹣，
∴f（x）=AP2=﹣﹣2ay+a2+25
对称轴y=﹣，﹣3≤y≤3，
﹣＜﹣3时，a＞，f（x）max=f（﹣3）=a2+6a+9，∴APmax=a+3；
﹣3≤﹣≤3时，﹣≤a≤，f（x）max=f（﹣）=+25，∴APmax=；
﹣＞3时，a＜﹣，f（x）max=f（3）=a2﹣6a+9=3﹣a．
例2.已知椭圆的左右焦点分别为,其右准线与轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线的垂线，垂足为D，四边形为平行四边形， （1）求椭圆的离心率；
（2）设线段与椭圆交与点M，是否存在实数，使?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）若B是直线上一动点，且外接圆面积的最小值是，求椭圆的方程。
解：（1）依题意：AD=F1F2，即，
所以离心率．
（2）由（Ⅰ）知：，b=c，
故A（0，c），D（2c，c），F2（c，0），T（2c，0），
所以椭圆方程是，即x2+2y2=2c2，
直线F2D的方程是x﹣y﹣c=0
由，{解得：，{（舍去）或，{
即，
，所以，
即存在λ=3使成立．
（3）由题可知圆心N在直线y=x上，设圆心N的坐标为（n，n），
因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点，
设圆心N到准线的距离为d，则NF2≥d，即，
解得：n≤﹣3c或n≥c，
又
由题可知，（πr2）min=c2π=4π，则c2=4，
故椭圆的方程为．
例3. 已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点，，圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线l被圆所截得的弦长为．
（1）求圆C的方程及直线l的方程；
（2）设圆N的方程（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，（θ∈R），过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值．
解：（1）因为，所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形，
所以圆C：（x﹣4）2+y2=16
①斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为，所以l：x=2适合
②斜率存在时，设l：y﹣6=k（x﹣2）即kx﹣y+6﹣2k=0
因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2，所以
∴
∴
综上，l：x=2或4x+3y﹣26=0
（2）解：设∠ECF=2a，
则．
在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得|PC|≥|NC|﹣1=7﹣1=6，
所以，
由此可得，则的最大值为．
例4.已知椭圆C：点A,B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G:（c是椭圆的半焦距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两条切线，切点分别为M,N.
(1)若椭圆C经过两点，求椭圆C的方程。
（2）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值。
（3）若存在点P使得为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围。
解：（1）令椭圆mx2+ny2=1，其中，
得，所以，即椭圆为．
（2）直线，
设点P（x0，y0），则OP中点为，
所以点O，M，P，N所在的圆的方程为，
化简为x2﹣x0x+y2﹣y0y=0，
与圆作差，即有直线，
因为点P（x0，y0）在直线AB上，所以，
所以，所以，
得，，故定点，
．
（3）由直线AB与圆G：（c是椭圆的焦半距）相离，
则，即4a2b2＞c2（a2+b2），4a2（a2﹣c2）＞c2（2a2﹣c2），
得e4﹣6e2+4＞0
因为0＜e＜1，所以，①
连接ON，OM，OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，
所以，a2b2≤c2（a2+b2），a2（a2﹣c2）≤c2（2a2﹣c2），得e4﹣3e2+1≤0
因为0＜e＜1，所以，②
由①②，，
所以．