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- 2021-04-27 发布
2018年春期高中二年级期中质量评估
数学试题（文）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数=（ ）
A． B． C． D．
2.年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间的回归方程为，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（ ）
A．增加80元 B．减少80元 C．增加70元 D．减少70元
3.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4.如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C.①④ D．③④
5.若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A． B． C. D．
6.已知结论：“在三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
7.下列有关线性回归分析的四个命题（ ）
①线性回归直线必过样本数据的中心点；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关性系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数越接近于1.
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
8.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为8、10、0，则输出和的值分别为（ ）
A．2,5 B．2,4 C.0,5 D．0,4
9.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程（）有有理根，那么，，中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是（ ）
A．假设，，都是偶数
B．假设，，都不是偶数
C．假设，，至多有一个是偶数
D．假设，，至多有两个是偶数
10.已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：
0
1
2
3
4
2.2
4.3
4.8
6.7
且回归方程是，则（ ）
A．2.5 B．3.5 C.4.5 D．5.5
11.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“.”
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
12.将自然数按如下规律排数对：，，，，，，，，，，，，，，…，则第60个数对是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数的共轭复数是 ．
14.已知函数，则 ．
15.执行如下图的程序框图，输出的值是 ．
16.已知集合，且下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知复数.
（1）求复数的模；
（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.
18. 设、、均为正数，且，证明：
（1）；（2）.
19. 微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成 列联表：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.
附：
0.010
0.001
6.635
10.828
.
20. 已知函数是上的增函数，.
（1）若，求证：；
（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.
21. 关于某设备的使用年限和所支出从维修费用（万元），有如下的统计资料：
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
（1）由资料可知对呈线性相关关系.试求线性回归方程；
（，）
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
22. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.
（1）求出，，，并猜测的表达式；
（2）求证：.
（1） （2） （3） （4）
试卷答案
一、选择题
1-5:DCADA 6-10:CBABC 11、12：CB
二、填空题
13. 14. 15. 16. 201
三、解答题
17. 解析：（1）
∴ ]
（2）∵复数是方程的一个根
∴
由复数相等的定义，得：
解得：
∴实数m,n的值分别是4,10.
18. 解析：证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
19. 解析：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，
经常使用微信的有人，其中青年人有人，
使用微信的人中青年人有人．
所以列联表为：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
(2)将列联表中数据代入公式可得：，
由于，
所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．
(3)从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，
中年人有人，
记名青年人的编号分别为，，，，记名中年人的编号分别为，，则从这人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，其中选出的人均是青年人的基本事件有，，，，，，共个，
故所求事件的概率为．
20. 解析：证明：(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
∵f(x)在R上单调递增，∴f(a)≥f (－b)．
同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．
两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.
下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：
由a+b<0,得a<-b, ∴f(a)