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- 2021-04-27 发布
2017-2018 学年江西省抚州市临川实验学校高二（上）期中数学
试卷（文科）
一．选择题（共 12 小题）
1．（5 分）若集合 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则 A∩B=（ ）
A．．{1，4，7} B．{1，2，3，4，5，7} C．{7} D．{3，5}
2．（5 分）命题“∃x∈R，使得 x2＜1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有 x2＜1 B．∃x∈R，使得 x2≥1
C．∀x∈R，都有 x2≥1 D．∃x∈R，使得 x2＞1
3．（5 分）按如程序框图，若输出结果为 170，则判断框内应补充的条件为（ ）
A．i＞5 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9
4．（5 分）一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习
经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）
A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样
5．（5 分）下列赋值语句正确的是（ ）
A．a=b=4 B．a=a+2 C．a﹣1=b+1 D．5=a
6．（5 分）同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．1
7．（5 分）利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a，则使关于 x 的一元二次方
程 x2﹣x+a=0 无实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5 分）若直线 a 平行于平面 α，则下列结论错误的是（ ）
A．α 内有无数条直线与 a 平行
B．a 平行于 α 内的任意一条直线
C．直线 a 上的点到平面 α 的距离相等
D．α 内存在无数条直线与 a 成 90°角
9．（5 分）设条件 p：a2+a≠0，条件 q：a≠0； 那么 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5 分）若数列{a n}的通项公式是 an=（﹣1） n（3n﹣2），则 a 1+a2+…+a10=
（ ）
A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15
11．（5 分）当 a＞1 时，在同一坐标系中，函数 y=a﹣x 与 y=logax 的图象为（ ）
A． B． C ．
D．
12．（5 分）下列说法错误的是（ ）
A．命题“若 x2﹣4x+3=0，则 x=3”的逆否命题是：“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若 p 且 q 为假命题，则 p、q 均为假命题
D．命题 p：“∃x∈R 使得 x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有 x2+x+1≥0”
二．填空题（共 4 小题）
13．（5 分）若平面上三点 A、B、C 满足| |=3，| |=4，| |=5，则 • +
• + • 的值等于 ．
14．（5 分）已知 ，则 的值为 ．
15．（5 分）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 1，3，4，8，a，c，11，
23，53，86，且总体的中位数为 10，则 cos π 的值为 ．
16．（5 分）如图所示，分别以 A，B，C 为圆心，在△ABC 内作半径为 2 的扇形
（图中的阴影部分），在△ABC 内任取一点 P，如果点 P 落在阴影内的概率为 ，
那么△ABC 的面积是 ．
三．解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余 12 分每题）
17．（10 分）已知函数 的定义域为集合 A，函数 g（x）=log2（x+1）
在定义域为[1，3]时的值域为集合 B，U=R．
（1）求（∁UA）∩B；
（2）若 C={x|a≤x≤2a﹣1}且 C⊆B，求实数 a 的取值范围．
18．（12 分）设 p：实数 x 满足 x 2﹣5ax+6a2 ≤0（a＞0），q：实数 x 满足
．
（1）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；
（2）已知“若 p，则 q”是真命题，求实数 a 的取值范围．
19．（12 分）随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，求身高
为 176cm 的同学被抽中的概率．
20．（12 分）在△ABC 中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）求 c 的值．
21 ．（ 12 分 ） 设 p ： 关 于 x 的 不 等 式 ax ＞ 1 的 解 集 是 {x|x ＜ 0} ； q ： 函 数
的定义域为 R，若 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，求实数 a 的取
值范围．
22．（12 分）设 O 为坐标原点，点 P 的坐标（x﹣2，x﹣y）
（Ⅰ）在一个盒子中，放有标号为 1，2，3 的三张卡片，现从此盒中有放回地先
后抽到两张卡片的标号分别记为 x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最
大值”的概率；
（Ⅱ）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为 x，y，求 P 点在第
一象限的概率．
_2017-2018 学年江西省抚州市临川实验学校高二（上）
期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．（5 分）若集合 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则 A∩B=（ ）
A．．{1，4，7} B．{1，2，3，4，5，7} C．{7} D．{3，5}
【分析】由交集的定义，由所有属于 A 和 B 的元素构成的集合，即可得到所求
集合．
【解答】解：集合 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，
则 A∩B={1，3，5，7}∩{2，3，4，5}={3，5}，
故选：D．
【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基
础题．
2．（5 分）命题“∃x∈R，使得 x2＜1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有 x2＜1 B．∃x∈R，使得 x2≥1
C．∀x∈R，都有 x2≥1 D．∃x∈R，使得 x2＞1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：
∀x∈R，都有 x2≥1，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5 分）按如程序框图，若输出结果为 170，则判断框内应补充的条件为（ ）
A．i＞5 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9
【分析】根据输出结果为 170，然后判定 S、i，不满足条件，执行循环体，当 S、
i 满足条件时，退出循环体，从而得到判断框内应补充的条件．
【解答】解：S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体；
S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体；
S=10+32=42，i=5+2=7，不满足条件，执行循环体；
S=42+128=170，i=7+2=9，满足条件，退出循环体，
故判断框内应补充的条件为 i≥9
故选：D．
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，
在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础
题．
4．（5 分）一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习
经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）
A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样
【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从 1 到 50 号编排，要求每班编号为 14
的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽
样的方法．
【解答】解：当总体容量 N 较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔
要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个
起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．
本题中，把每个班级学生从 1 到 50 号编排，
要求每班编号为 14 的同学留下进行交流，
这样选出的样本是采用系统抽样的方法，
故选 A．
【点评】本题考查系统抽样，当总体容量 N 较大时，采用系统抽样，将总体分
成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽
样．
5．（5 分）下列赋值语句正确的是（ ）
A．a=b=4 B．a=a+2 C．a﹣1=b+1 D．5=a
【分析】直接根据赋值语句的格式：变量=表达式 进行判断即可．
【解答】解：对于选项 A：一次不能给多个变量赋值，
∴选项 A 错误；
对于选项 C：
不能将表达式的值赋给表达式，
∴选项 C 错误；
对于选项 D：不能把变量的值赋给常数 5，
∴选项 D 错误；
只有选项 B 正确，
故选：B．
【点评】本题综合考查了赋值语句的格式和功能，准确理解赋值语句的功能是解
题的关键，本题属于基础题，难度小．
6．（5 分）同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后
根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的有一种，
∴两枚硬币都是正面朝上的概率 ，
故选：A．
【点评】本题考查了用列举法求概率的方法：先利用列举所有等可能的结果 n，
然后找出某事件出现的结果数 m，最后计算 P= ．属于基础题．
7．（5 分）利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a，则使关于 x 的一元二次方
程 x2﹣x+a=0 无实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随
机数 a 所对应图形的长度，及事件“关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+a=0 无实根”对
应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+a=0 无实根，
∴△=1﹣4a＜0，
∵0＜a＜1，
∴ a＜1，
∴事件“关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+a=0 无实根”的概率为 P= = ．
故选：C．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体
积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
8．（5 分）若直线 a 平行于平面 α，则下列结论错误的是（ ）
A．α 内有无数条直线与 a 平行
B．a 平行于 α 内的任意一条直线
C．直线 a 上的点到平面 α 的距离相等
D．α 内存在无数条直线与 a 成 90°角
【分析】由直线 a 平行于平面 α，利用空间中线线、线面间的位置关系逐一分析
四个选项得答案．
【解答】解：若直线 a 平行于平面 α，过 a 可以作无数个平面与 α 相交，则交线
都在 α 内且与 a 平行，故 A 正确；
a 与平面 α 内的直线有两种位置关系，平行、异面，故 B 错误；
由直线与平面平行的定义可知，直线 a 上的点到平面 α 的距离相等，故 C 正确；
若直线 a 平行于平面 α，平面 α 内与 a 在 α 内射影垂直的直线都与 a 成 90°角，
故 D 正确．
故选：B．
【点评】本题考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，
是中档题．
9．（5 分）设条件 p：a2+a≠0，条件 q：a≠0； 那么 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】条件 q：a2+a≠0，即为 a≠0 且 a≠﹣1，根据充要条件的定义即可
【解答】解：若 p⇒q 为真命题且 q⇒p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必
要条件；
条件 p：a2+a≠0，即为 a≠0 且 a≠﹣1
故条件 p：a2+a≠0 是条件 q：a≠0；的充分非必要条件
故选 A．
【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
10．（5 分）若数列{a n}的通项公式是 an=（﹣1） n（3n﹣2），则 a 1+a2+…+a10=
（ ）
A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15
【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而
可求解．
【解答】解：依题意可知 a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3
∴a1+a2+…+a10=5×3=15
故选 A．
【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，
找出规律．
11．（5 分）当 a＞1 时，在同一坐标系中，函数 y=a﹣x 与 y=logax 的图象为（ ）
A． B． C ．
D．
【分析】当 a＞1 时，根据函数 y=a﹣x 在 R 上是减函数，而 y=logax 的在（0，+
∞）上是增函数，结合所给的选项可得结论．
【解答】解：当 a＞1 时，根据函数 y=a﹣x 在 R 上是减函数，故排除 A、B；
而 y=logax 的在（0，+∞）上是增函数，故排除 D，
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性以及图象特征，属于基础
题．
12．（5 分）下列说法错误的是（ ）
A．命题“若 x2﹣4x+3=0，则 x=3”的逆否命题是：“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若 p 且 q 为假命题，则 p、q 均为假命题
D．命题 p：“∃x∈R 使得 x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有 x2+x+1≥0”
【分析】由逆否命题的定义知 A 是正确的；x＞1|⇒x|＞0 成立，但|x|＞0 时，x
＞1 不一定成立，故 B 是正确的；p 且 q 为假命题，则 p 和 q 至少有一个是假命
题，故 C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故 D 是正确的．
【解答】解：逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，
则 A 是正确的；
x＞1 时，|x|＞0 成立，但|x|＞0 时，x＞1 不一定成立，故 x＞1 是|x|＞0 的充
分不必要条件，故 B 是正确的；
p 且 q 为假命题，则 p 和 q 至少有一个是假命题，故 C 不正确；
特称命题的否定是全称命题，故 D 是正确的．
故选 C．
【点评】本题考查四种命题间的关系，解题时要注意公式的灵活运用．
二．填空题（共 4 小题）
13．（5 分）若平面上三点 A、B、C 满足| |=3，| |=4，| |=5，则 • +
• + • 的值等于 ﹣25 ．
【 分 析 】 根 据 + + = 可 得 ， =0 ， 展 开 可 得
=0，代入即可得到答案．
【解答】解：由 + + = 可得 =0，
∵| |=3，| |=4，| |=5
=0，
9+16+25+2（ • + • + • ）=0
∴ ．
故答案为：﹣25
【点评】本题主要考查向量的数量积运算．多注意一些巧妙的转化．
14．（5 分）已知 ，则 的值为 ﹣ ．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求
出值．
【解答】解：∵cos（ +α）= ，
∴cos（ ﹣α）=cos[π﹣（ +α）]=﹣cos（ +α）=﹣ ．
故答案为：﹣
【点评】此题考查运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关
键．
15．（5 分）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 1，3，4，8，a，c，11，
23，53，86，且总体的中位数为 10，则 cos π 的值为 ﹣ ．
【分析】根据中位数的定义，求出 a+c 的值，再利用诱导公式计算 cos π 的
值．
【解答】解：根据题意， =10，
∴a+c=20；
∴cos π=cos =cos =﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了中位数的定义与三角函数求值的应用问题，是基础题目．
16．（5 分）如图所示，分别以 A，B，C 为圆心，在△ABC 内作半径为 2 的扇形
（图中的阴影部分），在△ABC 内任取一点 P，如果点 P 落在阴影内的概率为 ，
那么△ABC 的面积是 6π ．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的
面积 S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积 S，
阴影部分的面积 S1= π22=2π．
点 P 落在区域 M 内的概率为 P= = ．
故 S=6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查几何概型，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概
型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考
这种类型的解答．
三．解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余 12 分每题）
17．（10 分）已知函数 的定义域为集合 A，函数 g（x）=log2（x+1）
在定义域为[1，3]时的值域为集合 B，U=R．
（1）求（∁UA）∩B；
（2）若 C={x|a≤x≤2a﹣1}且 C⊆B，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）求出 A、B，进而可得（∁UA）∩B；
（2）分 C 为空集和 C 不为空集两种情况，可得实数 a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵x﹣1＞0，
∴A=（1，+∞），CUA=（﹣∞，1]；
∵1≤x≤3
∴2≤x+1≤4
∴1≤log2（x+1）≤2，
B=[1，2]；
∴（CUA）∩B={1}；…（5 分）
（2）当 a＞2a﹣1，即 a＜1 时，{x|a≤x≤2a﹣1}=∅，符合题意；
当 a≤2a﹣1，即 a≥1 时，若{x|a≤x≤2a﹣1}⊆[1，2]，
则 ，即 ；
综上所述， ．…（10 分）
【点评】本题考查的知识点是集合的运算，集合的包含关系的判断及应用，难度
中档．
18．（12 分）设 p：实数 x 满足 x 2﹣5ax+6a2 ≤0（a＞0），q：实数 x 满足
．
（1）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；
（2）已知“若 p，则 q”是真命题，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）p：实数 x 满足 x2﹣5ax+6a2≤0（a=1），解得：2≤x≤3．q：实数 x
满足 ．解得：2＜x≤4．根据 p∧q 为真，即可得出．
（2）p：实数 x 满足 x2﹣5ax+6a2≤0（a＞0），解得：2a≤x≤3a．根据“若 p，则
q”是真命题时，则 p⇒q，反之不一定成立．即可得出．
【解答】解：（1）p：实数 x 满足 x2﹣5ax+6a2≤0（a=1），解得：2≤x≤3．
q：实数 x 满足 ．解得：2＜x≤4．
∵p∧q 为真，∴ ，解得 2＜x≤3．
（2）p：实数 x 满足 x2﹣5ax+6a2≤0（a＞0），解得：2a≤x≤3a
“若 p，则 q”是真命题时，则 p⇒q，反之不一定成立．
∴ ，解得 ．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
19．（12 分）随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，求身高
为 176cm 的同学被抽中的概率．
【分析】本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，
代入相应公式即可解答．
【解答】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 160～169 之间，而乙班身高
集中于 170～180 之间．
因此乙班平均身高高于甲班
（2） ，
甲 班 的 样 本 方 差 为
+
（170﹣170） 2+（171﹣170） 2+（179﹣170） 2+（179﹣170） 2+（182﹣170）
2]=57．
（3）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A；
从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：（181，173）（181，
176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
（178，176）（176，173）共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件．∴
．（12 分）
【点评】茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个
位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数
据是利用茎叶图解决问题的关键．
20．（12 分）在△ABC 中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）求 c 的值．
【分析】（ I）由正弦定理得 ，结合二倍角公式及 sinA≠0 即可得
解．
（ II）由（ I）可求 sinA，又根据∠B=2∠A，可求 cosB，可求 sinB，利用三角形
内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得 sinC，利用正弦定理即可得解．
【解答】解：（ I）因为 a=3，b=2 ，∠B=2∠A．
所以在△ABC 中，由正弦定理得 ．
所以 ．
故 ．
（ II）由（ I）知 ，
所以 ．
又因为∠B=2∠A，
所以 ．
所以 ．
在△ABC 中， ．
所以 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公
式的应用，属于基本知识的考查．
21 ．（ 12 分 ） 设 p ： 关 于 x 的 不 等 式 ax ＞ 1 的 解 集 是 {x|x ＜ 0} ； q ： 函 数
的定义域为 R，若 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，求实数 a 的取
值范围．
【分析】p：关于 x 的不等式 ax＞1 的解集是{x|x＜0}，可得 0＜a＜1．q：函数
的 定 义 域 为 R ， a=0 时 不 成 立 ， 舍 去 ． a ≠ 0 时 ， 可 得
，由 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，可得 p 与 q 必然一真一
假．
【解答】解：p：关于 x 的不等式 ax＞1 的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函数 的定义域为 R，a=0 时不成立，舍去．
a≠0 时，可得 ，解得 ．
由 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，可得 p 与 q 必然一真一假．
∴ 或 ，
解得 ，或 a≥1．
∴实数 a 的取值范围是 ，或 a≥1．
【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（12 分）设 O 为坐标原点，点 P 的坐标（x﹣2，x﹣y）
（Ⅰ）在一个盒子中，放有标号为 1，2，3 的三张卡片，现从此盒中有放回地先
后抽到两张卡片的标号分别记为 x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最
大值”的概率；
（Ⅱ）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为 x，y，求 P 点在第
一象限的概率．
【分析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分
别求出|OP|的值，从而得到最大值；
（2）求出点 P 落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示
的区域的面积，计算出二者的比值即可．
【解答】解：（I）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y）（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）
P （﹣1，（﹣1，（﹣1，（0，1）（0，0）（0， （1，2）（1，1）（1，0）
（x﹣
2，
x﹣y）
0） ﹣1） ﹣2） ﹣1）
|OP| 1 1 0 1 1
共 9 种．由表格可知|OP|的最大值为 …（5 分）
设事件 A 为“|OP|取到最大值”，则满足事件 A 的（x，y）有（1，3），（3，1）两
种情况，
∴ …（7 分）
（II）设事件 B 为“P 点在第一象限”
若 ，其所表示的区域面积为 3×3=9，
由题意可得事件 B 满足 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为
∴ …（12 分）
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，
一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比
例，这个比例即事件（A）发生的概率．