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- 2021-04-27 发布
高二普通班开学考试数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若数列的前 4 项分别是，则此数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．已知等比数列的公比，则等于（ ）
A． B． C． D．3
5.如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ）
A. 30° B. 60°【来源：全,品…中&高*考+网】
C. 90° D. 120°
6.如图，在长方体中，点分别是棱上的动点， ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ）
【来源：全,品…中&高*考+网】
A. B. 7
C. D. 9
8.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形， 平面， ，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有
A. B. C. D.
10.对于每个自然数n，抛物线与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 017B2 017|的值是
A. B. C. D.
11.已知点是抛物线（）上一点，为其焦点，以为圆心，以为半径的圆交准线于，两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知为实数，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 充要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.函数的单调递增区间为 .
14.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．
15.若点是函数的一个对称中心，则__________
16.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本大题满分10分）[]
已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z及；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
18．（本试题满分12分）已知数列满足递推式，其中
（1）求；
（2）求证：数列为等比数列.
19.（本试题满分12分）已知过点的动直线与抛物线：相交于，两点.当直线的斜率是时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.
20.（本试题满分12分）已知数列，，为数列的前项和，，，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列.
（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求.
21.（本试题满分12分）已知点到点的距离比到轴的距离大1.【来源：全,品…中&高*考+网】
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线：，交轨迹于、两点，为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值.
22.（本试题满分12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1-5：AABBB 6-10.BCADD 11-12.CC
13. 14. 15. 16. 8
17．解析： (1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i
∵(1＋3i)·z是纯虚数，[]
∴3－3b＝0，且9＋b≠0，
∴b＝1，∴z＝3＋i.
(2)ω＝＝
＝＝－i
∴|ω|＝＝.
18.解：（1）由知
解得同理得
（2）由知
是以为首项以2为公比的等比数列
19.解：（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，
即，由得：
，
①，②，
又， ③，
由①②③及得：，得抛物线的方程为.
（2）设：，的中点坐标为，
由得④
，.
线段的中垂线方程为，
线段的中垂线在轴上的截距为：
对于方程④，由得或，.
20.解（1）当时，
当时，，
综上，是公比为，首项为的等比数列，.
（2），，，
综上，是公差为，首项为的等差数列.
（3）由（2）知：
两式相减得：
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21. 解：（1）因为点M到点F(1,0)
的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离
由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴
设轨迹C的方程为： ，
轨迹C方程为：. 或
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）
直线l化成斜截式为
当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大
由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：
，所以
，解得，
所以P点坐标
P点到l的距离
A，B两点满足方程组
化简得.
x1,x2 为该方程的根. 所以
22. 解：（1）由题知：
当m≤0时，>0在x∈(0，＋∞)时恒成立
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
当m>0时,
令f′(x)>0，则 ；令f′(x)<0, 则.
∴f(x)在为增函数，f(x)在为减函数.
(2)法一：由题知：在上恒成立，
即在上恒成立。
令，所以
令g′(x)>0，则；令g′(x)<0，则.
∴g(x)在上单调递增，在上单调递减.
∴
∴
法二：要使f(x) ≤0恒成立，只需
（1）当m≤0时，f(x)在[1,e]上单调递增，所以
即，这与m≤0矛盾，此时不成立
（2）当m>0时,【来源：全,品…中&高*考+网】
① 若即时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以，即，
这与矛盾，此时不成立.
②若1<即时，f(x)在上单调递增，在上单调递减 .
所以即
解得 ，又因为，所以
③ 即m 2时，f(x)在 递减，则
∴ 又因为，所以m 2
综上
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