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- 2021-04-27 发布
北外附校2018-2019学年第二学期高二级期中测试卷
理科数学
一､选择题(12小题，每小题5分，共60分)
1.复数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为,故选C.
2.用反证法证明命题“若，则a、b全为0”，其反设正确的( )
A. a、b至少有一不为0 . B. a、b至少有一个为0
C. a、b全部为0 D. a、b中只有一个为0
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，a，b全为0的反面即为或，结合各选项，即可得出结论.
【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，
所以用反证法证明命题“若，则a，b全为0”时，
应假设或，a，b不全为零，即a，b至少有一个不为0.
故选A.
【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题.
3.若，则函数导函数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意,f(x)=xcosx，
其导数，
即f′(x)=cosx−xsinx，
本题选择D选项.
4.复数满足，则z=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设，则，根据复数相等的定义得：，，所以，故选A.
5.下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是( )
①因为对数函数是增函数；② 所以是增函数；③而是对数函数．
A. ① B. ② C. ①② D. ③
【答案】D
【解析】
三段话写成三段论是：
大前提：因为对数函数是增函数，
小前提：而是对数函数，
结论：所以是增函数，故选D.
6.＝ ( )
A. B. 2 C. ＋i D. －i
【答案】A
【解析】
，故选A.
7.曲线y=x·ex在x=1处切线的斜率等于
A. 2e B. e C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
时，，故选A.
8.直线与曲线在第一象限内围成封闭图形的面积为 （ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.
【详解】解方程可得：，
求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，
利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：
.
故选C.
【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.已知，如果，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵，，
∴，，
∵，∴，∴，
∴,故选B.
10.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题可得，
因，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
11.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+
1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
故选C．
【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./
12.设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】当 时，
原问题等价于，令，
则，而，
由可得：，
由可得：，
据此可知，函数在区间上的最小值为
综上可得：实数的最小值为e.
本题选择D选项.
二､填空题(4小题，每小题5分，共20分)
13.曲线在点处的切线方程为_______
【答案】
【解析】
【分析】
求导后，代入可求得切线斜率，进而利用点斜式求得切线方程.
【详解】由题意得： 在处的切线斜率
在处的切线方程为：，即
故答案为：
【点睛】本题考查曲线在某一点处的切线方程的求解，关键是熟练应用导数的几何意义求解出切线斜率，属于基础题.
14.计算 .
【答案】2.
【解析】
试题分析：，故填：2.
考点：定积分计算.
15.已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.
【答案】3
【解析】
由题意知，
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3.
16.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．
【答案】C
【解析】
【分析】
假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.
【详解】分别获奖的说对人数如下表：
获奖作品
A
B
C
D
甲
对
错
错
错
乙
错
错
对
错
丙
对
错
对
错
丁
对
错
错
对
说对人数
3
0
2
1
故获得一等奖的作品是C.
【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.
三､解答题(共6小题，共70分)
17.已知函数.
（1）曲线上与直线平行的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程.
【答案】（1）；（2）和.
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行知切线斜率为，利用导数几何意义构造方程求得切点坐标，进而得到所求切线方程；
（2）设切点坐标，利用切线斜率构造方程可求得，进而得到切线方程.
【详解】（1）令，解得：，又，
曲线在处的切线方程为，即，
即与平行的切线方程为.
（2）设切点坐标为，
若，直线，符合题意；
若，
则切线斜率，解得：，，
过的曲线的切线方程为，即.
所以，过点且与曲线相切的切线方程为和.
【点睛】本题考查利用导数几何意义求解切线方程的问题，涉及到“在”与“过”某一点处的曲线切线方程的求解问题，属于基础题.
18.计算由曲线与直线，，所围图形的面积.
【答案】
【解析】
【分析】
利用积分可直接求得结果.
【详解】由题意可得所围图形如下图阴影部分所示：
则所围成图形面积
.
【点睛】本题考查利用积分求解图形面积的问题，属于基础题.
19.在数列中，，，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】，证明见解析．
【解析】
试题分析：利用递推式直接求、、，猜想数列{an}的通项公式为（）用数学归纳法证明即可.
试题解析：a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，
猜想an＝，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即ak＝
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N*，an＝都成立．
点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值并验证真假；②“假设时命题正确”并写出命题形式；③分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.
20.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,
燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?
【答案】当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少
【解析】
试题分析：设速度为每小时v千米时，由题可得行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+. 再用导数作为工具求解该最值问题即可.
试题解析：设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为
q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8000),
令q′=0,解得v=20.
当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,
所以当v=20时,q取得最小值.
即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.
点晴：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题． 根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．
21.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.
（1）求，，的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）根据导数几何意义和两直线的垂直关系可确定，结合导函数的最小值可求得；根据奇函数的性质可求得；
（2）利用导数可求得的单调性，进而求得函数的极值和区间端点值，由此确定最值.
【详解】（1），，
在处的切线与垂直，，即，
又，，，
为奇函数，且其定义域为，，
综上所述：，，；
（2）由（1）知：，则，
当和时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；极小值为，
又，，
在上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解参数值、利用导数求解函数在区间上的最值问题；求解最值的关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定函数的极值点，属于基础题型.
22.已知函数.
（1）设是的极值点.求a，并求的单调区间；
（2）证明：当时，.
【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得到，，解得，再计算单调区间得到答案.
（2），，设，则，为增函数，且，得到单调区间，最值，得到证明.
【详解】（1），则，是的极值点，
则，故，
，函数在上单调递增，
故当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）取，易知函数单调递增，故.
设，则，为增函数，且，
故当时，单调递增，当时，单调递减，故.
即当时，.
【点睛】本题考查了根据极值点求参数，函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.