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- 2021-04-27 发布
课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·广东肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是( )
A．3 B.2
C.1 D.0
B [y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，故选B.]
2．函数y＝log2的图象( )
【导学号：01772034】
A．关于原点对称 B.关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D.关于直线y＝x对称
A [由＞0得－1＜x＜1，
即函数定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
∴函数y＝log2为奇函数，故选A.]
3．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝( )
A．－2 B.－1
C．0 D.2
D [由题意知当x>时，f＝f，
则f(x＋1)＝f(x)．
又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝( )
A．－2 B.2
C．－98 D.98
A [∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
即f(2 019)＝－2.]
5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B.f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D.f(x)＝cos(x＋1)
D [由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]
二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【导学号：01772035】
－－1 [∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.]
7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a
＝________.
－2 [由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，
∴a＝－2.]
8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．
1 [由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＝0.
∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(2)－f(3)＝1.]
三、解答题
9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)的表达式．
[解] 在f(x)＋g(x)＝中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，3分
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以－f(x)＋g(x)＝，6分
联立方程9分
两式相减得f(x)＝＝.12分
10．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(1)和f(－1)的值；
(2)求f(x)在[－1,1]上的解析式．
[解] (1)∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)，3分
∴f(1)＝0，f(－1)＝0.5分
(2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
由f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，9分
综上，在[－1,1]上，f(x)＝12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．定义运算a⊕b＝，a⊗b＝，则f(x)＝为( )
A．奇函数 B.偶函数
C．常函数 D.非奇非偶函数
A [由定义得f(x)＝.
∵4－x2≥0，且－2≠0，
即x∈[－2,0)∪(0,2]．
∴f(x)＝＝－(x∈[－2,0)∪(0,2])，
∴f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．]
2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
【导学号：01772036】
－10 [因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f，
且f(－1)＝f(1)，故f＝f，
从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.]
3．已知函数f(x)＝是奇函数，
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] (1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.2分
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.5分
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知9分
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3].12分