2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题 一、填空题 ‎1．命题“对任意，都有”的否定为__________．‎ ‎【答案】存在，使得 ‎【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：‎ 命题“对任意，都有”的否定为存在，使得.‎ ‎2．已知直线是曲线的切线，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若，则，设曲线上点的坐标为，‎ 则切点处切线的斜率，‎ 此时切线方程为： ，‎ 切线为，则切线过坐标原点，即： ,‎ 解得： ，则： .‎ ‎3．已知函数则“”是“函数在上递增”的__________．‎ ‎【答案】充分不必要条件 ‎【解析】若函数是单调增函数，则应满足： ，解得： ，‎ 则“”是“函数在上递增”的充分不必要条件.‎ 点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．‎ ‎4．已知圆柱的底面半径为，用与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，‎ 又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，‎ ‎∴cos30°=,得.‎ 以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 则椭圆方程为： .‎ c2=a2−b2=,∴c=.‎ ‎∴椭圆的离心率为： .‎ ‎5．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：不妨设顶点为 ,一条渐近线为即,点直线的距离为.‎ ‎【考点】1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.‎ ‎6．已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.‎ ‎7．函数的单调增区间是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，且： ，‎ 求解不等式可得： ，‎ 则函数的单调增区间是.‎ ‎8．一圆形纸片的半径为，圆心为， 为圆内一定点， ， 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使与重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕，设与交于点（如图），以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以FO所在直线为x轴，线段FO的中垂线为y轴，建立直角坐标系。‎ 由题设，得：CD垂直平分线段MF，则有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10‎ 即|PO|+|PF|=10>|OF|,所以点P的轨迹是以F,O为焦点的椭圆。‎ 方程为： ,2a=10,2c=6⇒b2=16,‎ 点P的轨迹方程为： .‎ ‎9．已知双曲线的焦点、，点在双曲线上，且，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程可得： ，设，‎ 由双曲线的定义有： ， ‎ 由余弦定理有： ， ‎ 可得： ，‎ 则的面积为.‎ 点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}‎ 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．‎ ‎(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．‎ ‎10．已知点在曲线上， 为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ，即切线的斜率取值范围为，‎ 据此可知倾斜角的取值范围是.‎ ‎11．过点与曲线相切的直线方程是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意可得： ，‎ 设曲线上点的坐标为，切线的斜率为，‎ 切线方程为： ，()‎ 切线过点，则： ，‎ 解得： 或 将其代入()式整理可得，切线方程为： 或.‎ 点睛：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎12．分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线 的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：直线的方程为，由得：‎ ‎；由得：，的中点为.‎ 据题意得，所以.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线.‎ ‎13．已知椭圆的方程为， 为圆： 上一点，过点作圆的切线交椭圆于、两点，则面积的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当直线的斜率不存在时， ，‎ 当直线的斜率存在时，设圆C的切线方程为y=kx+m，‎ ‎∴,整理,得3m2=2−2k2，‎ 联立,得(1+2k2)x2−4kmx+2m2−2=0，‎ ‎△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 令1+2k2=t⩾1，‎ 则，‎ 又0<⩽1,∴当时，‎ 即时, .>0时, ，‎ 综上可得线段|AB|的取值范围是.‎ 面积的取值范围是.‎ ‎14．已知函数，函数，（ ），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数f(x)求导可得： ，‎ 令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：‎ x ‎0‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎　‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎　‎ f(x)‎ 单调递减 ‎−4‎ 单调递增 ‎−3‎ 所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。‎ 当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[−4,−3].‎ 对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2−a2).‎ 因为a⩾1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1−a2)⩽0，‎ 因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数，‎ 从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]，‎ 又g(1)=1−2a−3a2,g(0)=−2a，‎ 即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1−2a−3a2,−2a]，‎ 任给x1∈[0,1],f(x1)∈[−4,−3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，‎ 则[1−2a−3a2,−2a]⊇[−4,−3],即，‎ 解①式得a⩾1或a⩽−，‎ 解②式得a⩽，‎ 又a⩾1,故a的取值范围内是.‎ 点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．‎ 二、解答题 ‎15．已知：命题： 表示双曲线，‎ 命题：函数在上单调递增.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数取值范围；‎ ‎（2）若命题和命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实数m的不等式： ，求解不等式可得实数的取值范围为.‎ ‎(2)由题意分类讨论可得：‎ 若命题是真命题，命题是假命题，则；‎ 若命题是假命题，命题是真命题，则.‎ 则的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵命题为真命题 ‎∴，解得 ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（2）当命题为真命题时有恒成立 ‎∴，解得 若命题是真命题，命题是假命题，则有 解得；‎ 若命题是假命题，命题是真命题，则有 解得.‎ 故所求实数的取值范围为.‎ ‎16．已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】(1) ；(2)单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合切线的性质可得关于实数b,c的方程组，求解方程组可得函数的解析式为.‎ ‎(2)结合(1)中函数的解析式求导可得，结合导函数与原函数的单调性之间的关系可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由的图象经过点，知，‎ ‎∴， .‎ 由在点处的切线方程为，‎ 知，即， .‎ ‎∴即解得.‎ 故所求的解析式是.‎ ‎（2）‎ 令，得或；‎ 令，得.‎ 故的单调递增区间为和 单调递减区间为.‎ ‎17．若椭圆与直线交于点， ，点为线段的中点，直线（为原点）的斜率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求、的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ， .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)联立直线与椭圆的方程，求得弦AB的中点坐标为，据此可得；‎ ‎(2)由两向量垂直想充要条件有： ，结合(1)中的结论解方程可得： ， .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由消去，得.‎ 当时，‎ 设， ，则， .‎ 弦的中点坐标为.‎ ‎∴所在直线斜率①‎ ‎（2）∵，即 得： ②‎ 由①②得： ， .‎ 满足不等式.‎ ‎∴， .‎ ‎18．如图，江的两岸可近似地看出两条平行的直线，江岸的一侧有， 两个蔬菜基地，江岸的另一侧点处有一个超市.已知、、中任意两点间的距离为千米，超市欲在之间建一个运输中转站， ， 两处的蔬菜运抵处后，再统一经过货轮运抵处，由于， 两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同.如果从 处出发的运输费为每千米元.从处出发的运输费为每千米元，货轮的运输费为每千米元.‎ ‎（1）设，试将运输总费用（单位：元）表示为的函数，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）问中转站建在何处时，运输总费用最小？并求出最小值.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2)中转站建在处千米处时，运输总费用最小的为元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合正弦定理可得， .‎ ‎(2)结合(1)的函数解析式求导有， ，利用导函数研究函数的性质可得中转站建在处千米处时，运输总费用最小的为元.‎ 试题解析：‎ ‎(1)在中，由正弦定理知 ‎，则，‎ 则， .‎ 所以.‎ 即， .‎ ‎（2）， ‎ 令， ‎ 当时， ， ；‎ 当时， ， ，‎ 所以当时， 取最小值，‎ 此时， ， .‎ 答：中转站建在处千米处时，运输总费用最小的为元.‎ 点睛：解函数应用题的一般程序：‎ 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；‎ 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；‎ 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；‎ 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；‎ 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．‎ ‎19．已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；‎ ‎（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），（2），（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1） 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；（2）由（1）可知，，即可得，由得，写出直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，由两点式求直线的方程即可；（3）由，得，设直线方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系计算得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.‎ 试题解析： （1）设，则，，………………1分 ‎∴，化简，得，∴椭圆的方程为.………………3分 ‎（2），，∴，………………4分 又∵，∴，.‎ 代入解，得（舍）∴，………………6分 ‎，∴.即直线方程为.………………7分 ‎（3）∵，∴.‎ 设，，直线方程为.代直线方程入，得 ‎.………………9分 ‎∴，，∴=‎ ‎，‎ ‎∴，……………11分 ‎∴直线方程为，‎ ‎∴直线总经过定点.………………12分 ‎【考点】1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确.‎ ‎20．已知（），定义.‎ ‎（1）求函数的极值 ‎（2）若，且存在使，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，试讨论函数（）的零点个数.‎ ‎【答案】(1) 的极大值为，极小值为；(2) ；(3)当时， 有两个零点；当时， 有一个零点；当时， 有无零点.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合函数的解析式求导有，利用导函数研究函数的极值可得的极大值为，极小值为；‎ ‎(2)原问题转化为不等式在上有解，构造新函数（），据此讨论可得.‎ ‎(3)结合（1）的结论有在上的最小值为，分类讨论：‎ ‎①当时， 在上无零点.‎ ‎②当时， 在上有一个零点.‎ ‎③当时， 在上有两个零点.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵函数，‎ ‎∴‎ 令，得或，∵，∴，列表如下：‎ 极大值 极小值 ‎∴的极大值为，极小值为.‎ ‎（2），∵存在使，‎ ‎∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，‎ 设（），∵对恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，∴当时， 的最大值为.‎ ‎∴，即.‎ ‎（3）由（1）知， 在上的最小值为，‎ ‎①当，即时， 在上恒成立，‎ ‎∴在上无零点.‎ ‎②当，即时， ，又，‎ ‎∴在上有一个零点.‎ ‎③当，即时，设（），‎ ‎∵，∴在上单调递减，‎ 又， ，∴存在唯一的，使得.‎ Ⅰ.当时，‎ ‎∵，∴且为减函数，‎ 又， ，‎ ‎∴在上有一个零点；‎ Ⅱ.当时 ‎∵，∴且为增函数.‎ ‎∵，∴在上有一个零点；‎ 从而在上有两个零点.‎ 综上所述，当时， 有两个零点；当时， 有一个零点；‎ 当时， 有无零点.‎