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- 2021-04-27 发布
广东省2021届高三年级上学期调研考试
数 学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．“一世”又叫“一代”，东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频率分布表为
家族企业寿命（年）
[0,22]
[22,44]
[44,66]
[66,88]
频率
54%
28%
14%
4%
则全球家族企业的平均寿命大约有
A．25年 B．26年 C．27年 D．28年
4．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为(dB)．装修房屋时电钻的声音约为100dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的( )倍
A． B． C．4 D．
5．已知，则
A．3 B． C．－3 D．
6．在矩形中，，为矩形所在平面上一点，满足，则的最大值为
A． B．4 C． D．2
11
7．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若为坐标原点），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
8．已知偶函数在上单调递增，则
A． B．
C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．若，则下列正确的选项为
A． B． C． D．
10．设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心， 为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则
A． B．是等边三角形
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
12．下列四个命题正确的是
A．函数是奇函数；
B．当时，函数的最大值为
C．已知定义域为R的函数，当且仅当时，成立；
D．函数的最小值3．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中常数项是 （用数字作答）．
14．在等差数列中，已知，则= .
15．函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为 .
11
16．已知是球的球面上四点，其中平面过球心为边长为2的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，角的对边分别为
(1)求角；
(2)若的面积为，求的值．
18．（12分）
已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和
19．（12分）
《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：
喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
70
女生
30
合计
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢《最强大脑》的概率为0.6．
(1)判断是否有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？
(2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的节目类型，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
P (K2 ≥ k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
11
20．（12分）
如图，在直三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
21．（12分）
已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于两点，若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．
22．（12分）
设函数
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
11
数学参考答案
1．C
2．D
3．B 家族企业的平均寿命为0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26
4．A 由当时，可得；当时，可得，装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的
5．D
6．A 点的轨迹是以为直径的圆，又
7．C 由题知，，又，故双曲线的离心率为
8．C为偶函数，在上单调递增，故在上单调递减．，，，
，
9．AC 由题意有
10．CD
11．BCD
12．BCD A中函数定义域关于原点不对称，所以A错误；当时，，由余弦函数图象可知的值域是所以B
11
正确；当时，；当时，；当时，，当时，，综上，时，，所以C正确．设，
，，所以函数在上单调递减，所以函数的最小值为，所以D正确．
13． ，令，则常数项为
14．18 ，，
15．或 题意可得，函数既有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不相等的实数根，即，解得或
16． 如图，平面平面点在平面上的射
影落在上，根据球体的对称性可知，当在最高点，即为
中点时，最大，棱锥的体积最大.
是边长为2的正三角形，球的半径．在中，，，体积
17．解：(1)由正弦定理及，得，………2分
，即
，
11
…………………………4分
，，即
. …………………………6分
(2). ………………………8分
……………………………10分
18．解：(1)设数列的公差为，，且成等比数列，
，即，…………………3分
解得（舍）或，……………………………4分
. ………………………5分
(2)由(1)可知，
数列的前项和，………………………7分
， ……………………9分
相减得， ……………………………11分
，
. ………………………………12分
19．解：(1)由200×0.6=120及已知数据知满足题意的2×2列联表如下表所示：
喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合计
120
80
200
………………………2分
由列联表中数据，得到. ………………5分
因此没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；………………………6分
11
(2)由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，其中女生有3人，男生有5人，随机变量的取值可能为0，1，2，3，……………………7分
，，
，. …………………………11分
的分布列为
X
0
1
2
3
P
. . …………………………12分
20．解：(1)证明：三棱柱为直三棱柱，
平面 平面 ……………………………2分
为等边三角形，为中点，
又平面. ……………………………3分
平面，平面平面，…………………………5分
(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
…………………………………7分
设平面的法向量为，则，，
由，令，可得，
则 ………………………9分
平面平面的一个法向量为，
. ………………………11分
由图知，二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为. …………………………12分
11
21．解：(1)设与轴的交点为，右交点为.
由题意，则，…………………2分
当过右焦点时，周长取最大值，
且，…………………………3分
椭圆的标准方程为，………………………………4分
(2)设直线的方程为，，，
由，得，
，. ……………………………6分
由题知，
， . …………………………8分
此时，，
则
，…………11分
故直线的斜率为，. ……………………12分
22．解(1)当时，，，……………………2分
又，，，…………………………3分
即函数的图象在处的切线方程为. ……………………4分
(2)当时，，
11
当时，令，……………………6分
则
令，则，又，
，所以存在，使得当时，，所以当时，
即在上单调递减，所以，
这与题意矛盾． ………………………8分
当时，“不等式在区间上恒成立”等价于“不等式在区间上恒成立.”
令，即“不等式在区间上恒成立”．
，令，
则．………………………9分
因为当时，，所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上最多有一个零点.
又因为
所以存在唯一的，使得 ……………………………10分
当时，；当时，，
11
即当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而 ……………………11分
由，得，即，两边取对数得，
所以，
所以，即，
所以不等式在区间上恒成立.
所以的取值范围为. ………………………12分
11