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- 2021-04-27 发布
乌丹一中第一次阶段性考试 理科数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝，则x∈A是x∈B的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知命题p:∀x≥9,log3x≥2,则下列关于命题的说法中,正确的是( )
A. :∀x≥9,log3x≤2为假命题
B. :∀x<9,log3x<2为真命题
C. :∃x0≥9,log3x0<2为真命题
D. :∃x0≥9,log3x0<2为假命题
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. 4x±9y＝0 B. 9x±4y＝0
C. 3x±2y＝0 D. 2x±3y＝0
4.已知空间直角坐标系中,A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),则点P(m,n,3)到平面ABC的距离是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
6.若双曲线与椭圆有共同的焦点,且a>0,则a的值为( )
A. 5 B. C. D.
7．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ）
A．5 B．6 C．7 D． 8
8．P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为 ( )
A． B． C． D．
9.若椭圆的弦被点(4，2)平分，则此弦所在的直线方程为( )
A. x－2y＝0 B. 2x＋y－10＝0
C. 2x＋13y－34＝0 D. x＋2y－8＝0
10.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,P为平面ABCD外一点,若PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
11.已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若|AF|<|BF|，则＝( )
A. B. C. D.
12.设F1，F2是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B. ＋1 C. D. ＋1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13．空间直角坐标系中，已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为__________．
14．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为__________．
15．在直三棱柱ABC-A'B'C'中,所有的棱长都相等,M为B'C'的中点,N为A'B'的中点,则AM与BN所成角的余弦值为_____________
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若
为的中点，则 。
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知命题：实数满足， ：实数满足
（1）若为真命题，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.（12分）已知双曲线： （）的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点， 为坐标原点，求的面积．
19．（12分）在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.
(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20. （12分） 已知定点，定直线：，动点到的距离比到F的距离大1.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别交轨迹于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值。
21． （12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
22．（12分）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．