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- 2021-04-27 发布
高三一轮检测
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】由，，可得或，
又
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.
2.已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由,得,则，故选D
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
3.已知的展开式中的常数项为8，则实数（ ）
A. 2 B. -2 C. -3 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为
展开式的常数项，从而求出的值.
【详解】展开式的通项为，
当取2时，常数项为，
当取时，常数项为
由题知，则.
故选：A.
【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题.
4.已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.
【详解】，且)，
由得或，
即的定义域为或，（且）
令，其在单调递减，单调递增，
在上单调函数，其充要条件为
即.
故选：C.
【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.
5.已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.
【详解】定义在上的函数的周期为4
，
当时，，
，，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
6.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.
【详解】连接AO，由O为BC中点可得，
，
、、三点共线，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．
【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，
且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
即最大水面高度为，故选B.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
8.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足
，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设在直线上投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．
考点：抛物线的性质．
【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.
【详解】选项A：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％，
则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的
.“80前”和“80后”
中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项A正确；
选项B：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，
其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术
岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”
中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B正确；
选项C：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，
大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C正确；
选项D：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，
“80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比，
故不能判断，所以选项D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.
10.下列说法正确的是（ ）
A. “”是“点到直线的距离为3”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围为
C. 直线与直线平行，且与圆相切
D. 离心率为的双曲线的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离公式判断选项A错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B正确；根据两直线平行的判定及直线与圆相切的判定，可判断选项C正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D错误.
【详解】选项A：由点到直线的距离为3，
可得：，解得或，
“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，
故选项A错误；
选项B：直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则或，
，故选项B正确；
选项C：直线可化为，
其与直线平行，
圆的圆心到直线的距离为：
，
则直线与圆相切，故选项C正确；
选项D：离心率为，则
若焦点在x轴，则双曲线的渐近线方程为，
若焦点在y轴，则双曲线的渐近线方程为，
故选项D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题.
11.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据线、面的位置关系，逐一进行判断.
【详解】选项A：若，则或，
又，并不能得到这一结论，故选项A错误；
选项B：若，则由线面垂直性质定理和线面平行的
性质定理可得，故选项B正确；
选项C：若，则有面面平行的性质定理可知，
故选项C正确；
选项D：若，则由线面角的定义和等角定理知，与
所成的角和与所成的角相等，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题.
12.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是周期为的奇函数 B. 在上为增函数
C. 在内有21个极值点 D. 在上恒成立的充要条件是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导函数零点判定选项C错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确.
【详解】的定义域为R，，
是奇函数，
但是，
不是周期为的函数，故选项A错误；
当时，，
，单调递增，
当时，，
，单调递增，
且在连续，故在单调递增，
故选项B正确；
当时，，，
令得，，
当时，，，
令得，,
因此，在内有20个极值点，故选项C错误；
当时，，则，
当时，，
设，，
令，
，单调递增，
，
，在单调递增，
又由洛必达法则知：
当时，
，故答案D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则__________．
【答案】
【解析】
∵，
∴,
∴．
又，
∴．
∴
．
答案：
14.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.
【答案】11
【解析】
【分析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.
【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个： ，
3个，2个：，
1个，4个：，
（2）左侧两列如图贴砖，
然后贴剩下的部分：
3个：，
1个，2个：，
综上，一共有（种）.
故答案为：11.
【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.
15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
∴从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。
故答案为：。
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。
16.过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______.
【答案】 (1). ， (2).
【解析】
【分析】
先求出直线的方程，将其与双曲线的渐近线方程联立，求得两点的坐标，进而求得的中点的坐标.利用点满足，可知点在线段的中垂线上，即，，从而可求得，再根据，求出，即可写出渐近线方程和离心率.
【详解】过点的直线与直线垂直，
直线的方程为，
双曲线的两条渐近线方程为，
将两个方程联立，可得，，
的中点坐标为，
点满足，
点在线段的中垂线上，即
，
，
则，，
渐近线方程为，离心率为.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的求法，求直线的方程，两直线的交点坐标，中点坐标公式.其中将转化为点在中垂线上是关键.属于综合性较强的题.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.
其余两个方案与方案一的解法相近似.
【详解】解：方案一：
（1）∵数列都是等差数列，且，
，解得
，
综上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵数列都是等差数列，且，
解得
，
综上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵数列都是等差数列，且.
，解得，
，
.
综上，
（2）同方案一
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.
18.在中，内角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；
（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.
【详解】解：（1）
整理得
解得或(舍去)
又
；
（2）由题意知
，
又，
，
又
周长的取值范围是
【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.
19.在四边形中，，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：
（1）平面平面；
（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题可知，等腰直角三角形与等边三角形，在其公共边AC上取中点O，连接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可证得，结合，可证明平面.再根据面面垂直的判定定理，可证平面平面.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由点F在线段上，设，得出的坐标，进而求出平面的一个法向量.
用向量法表示出与平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再结合为平面的一个法向量，用向量法即可求出与的夹角，结合图形，写出二面角的大小.
【详解】证明：（1）在中，
为正三角形，且
在中，
为等腰直角三角形，且
取的中点，连接
，
，
，平面
平面
平面
..平面平面
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
设.则
设平面的一个法向量为.则
，
令，解得
与平面所成角的正弦值为，
整理得
解得或(含去)
又为平面的一个法向量
，
二面角的大小为.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.
20.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
【答案】（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
【分析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】解：（1）由题意知
甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为
.
众数为330.
（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
的分布列为
204
219
228
273
291
（元）；
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元).
【点睛】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
21.已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由可知点为的重心，根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上，知点M的坐标满足圆O
的方程，得式.为直线l与椭圆的两个交点，用韦达定理表示，将其代入方程，再利用求得的范围，最终求出实数的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知.
，
直线的方程为
∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为
解得或(舍去)
，
∴椭圆的方程为
（2）设
.
∴点为的重心，
∵点在圆上，
由得
，
代入方程，得
，
即
由得
解得.
或
【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.
22.已知函数
（1）若函数在处取得极值1，证明：
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；
（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导
.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性，从而得，即，最终求得，则.
【详解】解：（1）由题知，
∵函数在，处取得极值1，
，且，
，
，
令，则
为增函数，
，即成立.
（2）不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，
令，则
令，则,
，，
在上单调递增，且，
有唯一零点，且，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
，
由整理得
，
令，则方程等价于
而在上恒大于零，
在上单调递增，
.
，
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.