【数学】2020届一轮复习人教B版空间中的平行与垂直课时作业 11页

空间中的平行与垂直 1．若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；④若 α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则 α∥β. 则以上说法中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　对于①，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误； 对于③，α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，正确；对于④，若 α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则 α∥β，错 误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交．故选 B. 2．如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为 (　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 答案　D 解析　由题意可得图①中 GH 与 MN 平行，不合题意； 图②中 GH 与 MN 异面，符合题意； 图③中 GH 与 MN 相交，不合题意； 图④中 GH 与 MN 异面，符合题意． 则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为②④. 3．给出下列四个命题： ①如果平面 α 外一条直线 a 与平面 α 内一条直线 b 平行，那么 a∥α； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直； ③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 4．已知 m，n，l1，l2 表示不同的直线，α，β 表示不同的平面，若 m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝ M，则 α∥β 的一个充分条件是(　　) A．m∥β 且 l1∥α B．m∥β 且 n∥β C．m∥β 且 n∥l2 D．m∥l1 且 n∥l2 答案　D 解析　对于选项 A，当 m∥β 且 l1∥α 时，α，β 可能平行也可能相交，故 A 不是 α∥β 的充分条件；对 于选项 B，当 m∥β 且 n∥β 时，若 m∥n，则 α，β 可能平行也可能相交，故 B 不是 α∥β 的充分条件； 对于选项 C，当 m∥β 且 n∥l2 时，α，β 可能平行也可能相交，故 C 不是 α∥β 的充分条件；对于选项 D，当 m∥l1，n∥l2 时，由线面平行的判定定理可得 l1∥α，l2∥α，又 l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理 可以得到 α∥β，但 α∥β 时，m∥l1 且 n∥l2 不一定成立，故 D 是 α∥β 的一个充分条件．故选 D. 5．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 BC，CC1 的中点，P 是侧面 BCC1B1 内一 点，若 A1P∥平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是(　　) A.(3 2 4 ， 5 2 ) B.[3 2 4 ， 5 2 ] C.[1， 5 2 ] D.[0， 5 2 ] 答案　B 解析　如图所示， 分别取棱 BB1，B1C1 的中点 M，N，连接 MN，BC1，NE，A1N，A1M， ∵M，N，E，F 分别为所在棱的中点， ∴MN∥BC1，EF∥BC1， ∴MN∥EF， 又 MN⊄平面 AEF，EF⊂平面 AEF， ∴MN∥平面 AEF. ∵AA1∥NE，AA1＝NE， ∴四边形 AENA1 为平行四边形， ∴A1N∥AE， 又 A1N⊄平面 AEF，AE⊂平面 AEF， ∴A1N∥平面 AEF， 又 A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面 A1MN， ∴平面 A1MN∥平面 AEF. (2)求三棱锥 N－PCE 的体积． (1)证明　取 A1E 的中点 F，连接 MF，CF， ∵ M 为棱 A1D 的中点， ∴MF∥DE 且 MF＝ 1 2DE，在△ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点， ∴DE∥BC 且 DE＝ 1 2BC， ∴MF∥BC，即 MF∥NC， 且 MF＝ 1 4BC＝NC， ∴四边形 MFCN 为平行四边形， ∴MN∥FC， ∵MN⊄平面 A1EC，FC⊂平面 A1EC， ∴MN∥平面 A1EC. (2)解　取 BD 的中点 H，连接 PH， 则 PH 为△A1BD 的中位线， ∴PH∥A1D， ∵在△ABC 中，AB⊥BC，DE∥BC， ∴在空间几何体中，DE⊥DA1， ∵A1D⊥BD，DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面 BCED， ∴A1D⊥平面 BCED， ∵PH∥A1D，∴PH⊥平面 BCED， ∴PH 为三棱锥 P－NCE 的高， ∴PH＝ 1 2A1D＝ 1 4AB＝1，S△NCE＝ 1 2NC·BD＝ 1 2× 1 2×2＝ 1 2， ∴VN－PCE＝VP－NCE＝ 1 3PH·S△NCE ＝ 1 3×1× 1 2＝ 1 6. 9．已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都相等，M，N 分别为 B1C1，BB1 的中点．现有下列四个结论： p1：AC1∥MN； p2：A1C⊥C1N； p3：B1C⊥平面 AMN； p4：异面直线 AB 与 MN 所成角的余弦值为 2 4 . 其中正确的结论是(　　) A．p1，p2 B．p2，p3 C．p2，p4 D．p3，p4 答案　C 解析　正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都相等， M，N 分别为 B1C1，BB1 的中点． 对于 p1：如图①所示， MN∥BC1，BC1∩AC1＝C1， ∴AC1 与 MN 不平行，是异面直线，p1 错误； 对于 p2：如图②所示， 连接 AC1，交 A1C 于点 O，连接 ON， 易知 A1C⊥AC1，ON⊥平面 ACC1A1， ∴ON⊥A1C， 又 ON∩AC1＝O，ON，AC1⊂平面 ONC1， ∴A1C⊥平面 ONC1， 又 C1N⊂平面 ONC1， ∴A1C⊥C1N，p2 正确； 对于 p3：如图③所示， 取 BC 的中点 O，连接 AO，BC1， 过点 O 作 OP∥BC1，交 CC1 于点 P， 连接 AP，则 AO⊥平面 BCC1B1， 又 B1C⊂平面 BCC1B1， ∴AO⊥B1C， 又 BC1∥OP，BC1⊥B1C， ∴B1C⊥OP， 又 AO∩OP＝O，AO，OP⊂平面 AOP， ∴B1C⊥平面 AOP， 又平面 AMN 与平面 AOP 有公共点 A， ∴B1C 与平面 AMN 不垂直，p3 错误； 对于 p4：如图④所示， 连接 BC1，AC1，则 MN∥BC1， ∴∠ABC1 是异面直线 AB 与 MN 所成的角， 设 AB＝1，则 AC1＝BC1＝ 2， ∴cos∠ABC1＝  22＋12－ 22 2 × 2 × 1 ＝ 2 4 ，p4 正确． 综上，其中正确的结论是 p2，p4. 10.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABC－A1B1C1 截去一部分后而成，D 是 AA1 的中点． (1)若 F 在 CC1 上，且 CC1＝4CF，E 为 AB 的中点，求证：直线 EF∥平面 C1DB1； (2)若 AD＝AC＝1，AD⊥平面 ABC，BC⊥AC，求点 C 到平面 B1C1D 的距离． (1)证明　方法一　取 AC 的中点 G，CC1 的中点 H，连接 AH，GF，GE，如图所示． ∵AD∥C1H 且 AD＝C1H， ∴四边形 ADC1H 为平行四边形， ∴AH∥C1D，又 F 是 CH 的中点，G 是 AC 的中点， ∴GF∥AH，∴GF∥C1D， 又 GF⊄平面 C1DB1，C1D⊂平面 C1DB1， ∴GF∥平面 C1DB1， 又 G，E 分别是 AC，AB 的中点， ∴GE∥BC∥B1C1， 又 GE⊄平面 C1DB1，B1C1⊂平面 C1DB1， ∴GE∥平面 C1DB1， 又 GE∩GF＝G，GE⊂平面 GEF，GF⊂平面 GEF， ∴平面 GEF∥平面 C1DB1， 又 EF⊂平面 GEF， ∴EF∥平面 C1DB1. 方法二　取 B1D 的中点 M，连接 EM，MC1， 则 EM 是梯形 ABB1D 的中位线， ∴EM∥BB1∥CC1∥AD， ∴EM＝ 1 2(AD＋BB1) ＝ 1 2(1 2CC1＋CC1)＝ 3 4CC1， 又 C1F＝CC1－CF＝ 3 4CC1， ∴ EM∥C1F 且 EM＝C1F， 故四边形 EMC1F 为平行四边形，∴C1M∥EF， 又 EF⊄平面 C1DB1，C1M⊂平面 C1DB1， ∴EF∥平面 C1DB1. (2)解　∵AD⊥平面 ABC，AC⊂平面 ABC，∴AD⊥AC， 又 AD＝AC＝1，CC1＝2AD，AD∥CC1， ∴C1D2＝DC2＝AC2＋AD2＝2AD2＝2，C1C2＝4， 故 CC21＝CD2＋C1D2，即 C1D⊥CD， 又 BC⊥AC，AD⊥BC，AC∩AD＝A， AC，AD⊂平面 ACC1D， ∴BC⊥平面 ACC1D， 又 CD⊂平面 ACC1D， ∴BC⊥CD， 又 B1C1∥BC，∴B1C1⊥CD， 又 DC1∩B1C1＝C1，DC1，B1C1⊂平面 B1C1D， ∴CD⊥平面 B1C1D， ∴点 C 到平面 B1C1D 的距离为 CD 的长，即为 2. 11．如图，矩形 AB′DE(AE＝6，DE＝5)，被截去一角(即△BB′C)，AB＝3，∠ABC＝135°，平面 PAE⊥平 面 ABCDE，PA＋PE＝10. (1)求五棱锥 P－ABCDE 的体积的最大值； (2)在(1)的情况下，证明：BC⊥PB. 在平面 PAE 内，PA＋PE＝10>AE＝6，P 在以 A，E 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当 点 P 为短轴端点时，P 到 AE 的距离最大， 此时 PA＝PE＝5，OA＝OE＝3， 所以 POmax＝4， 所以(VP－ABCDE)max＝ 1 3SABCDE·POmax＝ 1 3×28×4＝ 112 3 . (2)证明　连接 OB，如图，由(1)知，OA＝AB＝3， 故△OAB 是等腰直角三角形，所以∠ABO＝45°， 所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝135°－45°＝90°， 即 BC⊥BO. 由于 PO⊥平面 ABCDE，BC⊂平面 ABCDE， 所以 PO⊥BC， 又 PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面 POB， 所以 BC⊥平面 POB， 又 PB⊂平面 POB，所以 BC⊥PB. 12. 如图(1)，在正△ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 边上的点，且 BE＝AF＝2CF.点 P 为边 BC 上的点，将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置，使平面 A1EF⊥平面 BEFC，连接 A1B，A1P，EP，如图(2)所示． (1)求证：A1E⊥FP； (2)若 BP＝BE，点 K 为棱 A1F 的中点，则在平面 A1FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行，若存在， 请给予证明；若不存在，请说明理由． (1)证明　在正△ABC 中，取 BE 的中点 D，连接 DF，如图所示． 因为 BE＝AF＝2CF，所以 AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF 为正三角形．又 AE＝DE，所以 EF⊥ AD. 所以在题图(2)中，A1E⊥EF， 又 A1E⊂平面 A1EF，平面 A1EF⊥平面 BEFC， 且平面 A1EF∩平面 BEFC＝EF， 所以 A1E⊥平面 BEFC. 因为 FP⊂平面 BEFC，所以 A1E⊥FP. (2)解　在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行． 理由如下： 如题图(1)，在正△ABC 中，因为 BP＝BE，BE＝AF， 所以 BP＝AF，所以 FP∥AB，所以 FP∥BE. 如图所示，取 A1P 的中点 M，连接 MK， 因为点 K 为棱 A1F 的中点， 所以 MK∥FP. 因为 FP∥BE，所以 MK∥BE. 因为 MK⊄平面 A1BE，BE⊂平面 A1BE， 所以 MK∥平面 A1BE. 故在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线 MK 与平面 A1BE 平行．