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- 2021-04-27 发布
黄冈市2016年秋季高二年级期末调研考试
数学试题(理科)
一、选择题：
1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，
将840人按1，2，3，…，840随机编号，则抽取的42个人中，
编号落入区间[481，720]的人数为
A．11 B．12 C．13 D．14
2．执行右图程序中，若输出y值为1，则输入x的值为
A．0 B．1 C．0或1 D．－1，0或1
3．右表是能耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x
(吨)与相应的生产能耗y (吨)煤的几组对应数据，根据
表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程
＝0．7x＋0．35，那么表中m的值为
A．4 B．3．15 C．4．5 D．3
4．已知椭圆的焦距为8，则m的值为
A．3或 B．3 C． D．±3或±
5．已知x，y∈R，则“x＋y＝1”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充发条件 D．既不充分也不必要条件
6．某公司的班车在7∶30，8∶00，8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A． B． C． D．
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点G是△BA1D的重心，且＝x·＋y·＋z·，则x＋y＋z的值为
A．3 B．1 C．－1 D．－3
8．给定下列命题，其中真命题的个数为：
① 已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，则a＜b；
② “矩形的对角线相等”的逆命题；
③ “若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题；
④ 如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非玲常数，
那么这组数据的平均数和方差都改变．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．执行右方的程序框图，若输出S＝2550，则判断框处为
A．k≤50？ B．k≥51？ C．k＜50？ D．k＞51？
10．如右图所示，过抛物线y2＝2px (p＞0)的焦点F的
直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，
若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为
A． B．y2＝3x C． D．y2＝9x
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为线段CD上
一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC
上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则
点K形成轨迹的长度为
A． B．2 C． D．
12．设点P(x，y)是曲线a|x|＋b|y|＝1(a＞0，b＞0)上任意一点，其坐标(x，y)满足＋
，则取值范围为
A．(0，2] B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
二、填空题：
13．若命题p：“∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________________．
14．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，P(2，2)是该圆内一点，过P的最长的弦和最短的弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积是______________．
15．右图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，
其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均
成绩的概率为_______________．
16．过双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为___________________．
三、解答题．
17．(本题满分10分) 已知a∈R，设命题p：指数函数y＝ax (a＞0且a≠1)在R上单调递增；命题q：函数y＝ln(ax2－ax＋1)的定义域为R．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．
18．(本题满分12分) 2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：
(1) 根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数、中位数和样本方差s2(同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(2) 若在愿意生育二孩且年龄在[30，34)，[34，38)，[38，42)的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取19人，试估算每个年龄段各抽取多少人？
19．(本题满分12分) 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．(1) 若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋无放回地抽取2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；(2) 若甲计划在9：00~9：40之间赶到，乙计划在9：20~10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
20．(本题满分12分) 在平面直角坐标系xoy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1) 若圆心C也在直线y＝x－3上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．
21．(本题满分12分) 如图，在棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AD＝2，AC＝CD＝．(1) 求证：PD⊥平面PAB；(2) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
22．(本题满分12分) 如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T，与抛物线交于C、D两点，且|CD|＝|ST|．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设P为椭圆上一点，若过点M(2，0)的直线l与椭圆交于不同两点A和B，且满足＋＝t· (O为坐标原点)，求实数t的取值范围．
黄冈市2016年秋季高二期末调研考试数学参考答案（理科）
一、选择题： BCDAA DBCAB CD
1．B
考点：系统抽样方法．
2．C
【解析】由题意得或，解得x＝1或x＝0，故选C．
考点：程序框图．
3．D
【解析】由题意得，，代入回归直线方程＝0．7x＋0．35，即，解得m＝3，故选D．
考点：回归直线方程的应用．
4．A
【解析】，
当x＝1时的函数值时用秦九韶算法计算：
考点：秦九韶算法
5．A
考点：充分条件必要条件及不等式性质的应用
6．D
【解析】设小明到达时间为y，当在7：50至8：00，或8：20至8：30时，因为小明等车时间不超过分钟，故，故选D．
考点：几何概型概率公式．
7．B．
【解析】
考点：平面向量基本定理及四点共面定理。
8．C
【解析】①正确，此时m2＞0，②逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
③否命题：“若xy≠0，则都不为零”是真命题．
④根据平均数与方差的计算公式，平均数改变，方差不变；故不正确；
故答案为：①③
考点：命题的真假判断与应用
9．B
【解析】A，如果输出b的值为792，则a＝792，，不满足题意．B， 如果输出的值为495，则
a＝495，，满足题意．所以B选项是正确的．
C，如果输出的值为594，则a＝594，，不满足题意故选项C错误； 如果输出的值为693，则a＝693，
，不满足题意故D是错误的．
考点：程序框图．
10．B【解析】如图，过作垂直准线于，过作垂直准线于，记准线与轴的交点为．由抛物线定义知，
故，所以，
即，解得，
所以，代入即得答案，故选B．
考点：抛物线的定义，方程．
11．D
【解析】将沿折起，使平面，在平面内过点作，为垂足是在平面上的射影，由翻折的特征知，连接，则，故点的轨迹是以为直径的圆上的一段弧，根据长方形知圆的半径是
1，如图，当E与C重合时，，
取为的中点，得到是直角三角形，故，，故其所对的弧长为．
考点：平面与平面垂直的判定．
12．D
【解析】设，则满足的点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为．
曲线为如下图所示的
菱形ABCD，．
由于，
所以，即．
所以．选D．
考点：1、曲线与方程；2、不等式．
二、填空题：13．a≤1 14． 15． 16．
13．a≤1
【解析】为真命题，
考点：特称命题与全称命题．
14．【解析】最长的弦长为直径，故，最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，故，由于所以面积为．
考点：圆的性质应用．
15．
【解析】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，
则甲的平均成绩：(88＋89＋90＋91＋92)＝90 设污损数字为x
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x
则乙的平均成绩：(83＋83＋87＋99＋90＋x)＝88．4＋，
当x＝9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，
当x＝8，甲的平均数＝乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，
甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．
16． 【解析】当x＝c时代入(a＞0，b＞0)得，
则，，则，将x＝c代入，得，则，，则，，∴，即，则⇒，
即，则，则，故选B．
考点：1、双曲线的几何性质；2、双曲线的离心率．
三、解答题：
17．【解析】由命题p，得a＞1，对于命题q，即使得x∈R，ax2－ax＋1＞0恒成立
若a＞0，△＝a2－4a＜0，即0＜a＜4……………………4分；
若a＝0，1＞0恒成立，满足题意，所以0≤a＜4 ．．．．5分
由题意知p与q一真一假，
当p真q假时 ， 所以a≥4．………………6分
当p假q真时，即0≤a≤1．……………8分
综上可知，a的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞)．……………10分
考点：1．命题的判断；2．一元二次不等式恒成立；3．分类讨论．
18．【解析】试题解析：（1）位已婚男性的年龄平均值和样本方差分别为:
，．．．3分
．．．6分
众数为36．．．．．．． ．．．．．7 分；中位数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
（2）在年龄段的频率分别为，，，，所以人数分别为4人，，11人，4人．．12分
考点：1，频率分布直方图，2，中位数，众数，平均数及样本 方差公式；
O
x
y
x
x
x
x
1
1
19． （1）记“取到同色球”为事件A，概率为．
（要求写出所有的情况）．．．6分
(2)设甲乙到达的时刻分别为x，y，则，
甲乙到达时 刻(x，y)为图中正方形区域，甲比乙先到则需
满足x＜y，为图中阴影部分区域，（要求画图）．．．．．．．10分
设甲比乙先到为事件B，则………………12分
考点：1、古典概型；2、几何概型；3、二元一次不等式表示的平面区域．
20．【解析】（1）由得圆心为(1，－2)，∵圆的半径为
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1 ．．．．．．．．．2分
当切线的斜率存在时，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0 ．
∴ ⇒ ∴，切线方程为y＝－…………4分
当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴所求圆C的切线方程为： x＝0或者12x＋5y－15＝0 ．．．．．．．．6分
（2）∵圆C的圆心在在直线l：y＝2x－4上，可设圆心C为(a，2a－4)，
则圆C的方程为：(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1……7分
∵MA＝2MO∴设M(x，y)则 得：x2＋(y＋1)2＝4………………8分
设为圆D ∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点
∴|2－1|≤…………………10分
由 5a2－12a＋8≥0得x∈R ，由5a2－12a≤0得．
综上所述，a的取值范围为 ………………12分
考点：圆的切线方程；圆与圆的位置关系的应用．
21．【解析】（Ⅰ）因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB………………5分
（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO．因为PA＝PD，所以PO⊥AD．
又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO．因为AC＝CD，所以CO⊥AD．
如图建立空间直角坐标系，由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
设平面PCD的法向量为＝(x，y，z)，则
即令z＝2，则x＝1，y＝－2．
所以＝(1，－2，2)．又＝(1，1，－1)，所以．
＝
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为………12分
22．【解析】（I）设椭圆标准方程(a＞b＞0)，
由抛物线y2＝4x的焦点为F2(1，0)，|CD|＝4．因为|CD|＝，所以．又，，，又c2＝a2－b2，∴，b＝1．
所以椭圆的标准方程为…………5分
（II）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
由消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1，x2是方程的两根，△＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，即2k2＜1，…………7分
①且，由
，由＋＝t·，得．若t＝0，则P点位于椭圆任意一点，满足，当t≠0，．．．．．．．9分
因为点在椭圆上，所以，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
再由①得，又t≠0，∴t∈(－2，0)∪(0，2)．
综合知t 的范围为(－2，2)………………12分