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- 2021-04-27 发布
青阳一中 2019-2020 学年度 9 月份月考试卷
高二数学
命题人：
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.已知全集 U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，集合 A＝{2,3,5,6}，集合 B＝{1,3,4,6,7}，则集合
A∩(∁UB)等于( )
A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
2. 有 10 名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别为 15，17，14，10，15，17，17，16，
14，12，设其平均数为 a，中位数为b ，众数为 c ，则有（ ）
A． cba B． acb C． bac D． abc
3.在等差数列 }{ na 中， 3 4 2 2a a a ，则数列 }{ na 的前 9 项之和 9S 等（ ）
A．63 B．45 C． 36 D．18
4.函数 y=3sin 的图象可看成 y=3sin3x 的图象( )
A.向左平移 个单位长度得到 B.向右平移 个单位长度得到
C.向左平移 个单位长度得到 D.向右平移 个单位长度得到
5．如图，正方形 BCDE 和 ABFG 的边长分别为 2a ， a ，连接 CE 和 CG ，在两个正方形区域
内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）
A． 3
5 B． 3
8 C． 3
10 D． 3
20
6．右图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中 B′C′边的中点且 A′D′
∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段 AB，AD，AC，那么( )
A．最长的是 AB，最短的是 AC B．最长的是 AC，最短的是 AB
C．最长的是 AB，最短的是 AD D．最长的是 AD，最短的是 AC
7.设 f(x)＝
x＋1，x>0，
1－x，x＝0，
－1，x<0，
则 f(f(0))等于( )
A.1 B.0 C.2 D.－1
8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． 4 B．8
C．12 D． 24
9. 如果实数 x , y 满足约束条件
1 0,
1 0,
1 0,
x y
y
x y
则 2x y 的最大值为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D． 2
10．在 ABC△ 中， sin 3 2 sinB A ， 2BC ，且 π
4C ，则 AB （ ）
A． 26 B．5 C． 3 3 D． 2 6
11.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 22xf x x ，则不等式 2 1 3f x 的
解集为（ ）
A． 1， B． 2， C． 2 2 ， D． 1 2 ，
12．若正数 x，y 满足 x2＋3xy－1＝0，则 x＋y 的最小值是( )
A． 2
3 B．2 2
3 C． 3
3 D．2 3
3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13．已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ， 2a ， 3b ，则 3 2 a b __________．
14．已知 ,5
4cos,2
3,
，则 )4tan( =
15．已知数列{an}满足：a1＝m(m 为正整数)，an＋1＝
an
2
当 an 为偶数时 ，
3an＋1 当 an 为奇数时 .
若 a3＝1，则 m 所有可能的取值为________．
16．在正六棱锥 P－ABCDEF 中，若 G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－GAC 与三棱锥 P－GAC
体积之比为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，
求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)
18.（本小题满分 12 分）
在 ABC△ 中， 5cos 13A ， 3cos 5B ．
（Ⅰ）求sinC 的值；
（Ⅱ）设 5BC ，求 ABC△ 的面积．
19．（12 分）
某地区 2011年至 2017 年农村居民家庭人均纯收入 y （单位：千元）的数据如下表：
（1）若 y 关于 t 的线性回归方程为 2 3y bt ．，根据图中数据求出实数 b 并预测 2018 年该地
区农村居民家庭人均纯收入；
（2）在 2011年至 2017 年中随机选取两年，求这两年人均纯收入都高于3 6．千元的概率．
20. （12 分）
已知函数 f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数 y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数 f(x)在
0，π
2 上的单调性
21、（12 分）
已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．
22．（12 分）
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围.
数学答案
1 答案 A【解析】根据补集的定义可得∁UB＝{2,5,8}，所以 A∩(∁UB)＝{2,5}，故选 A.
2 答案 D
3 答案 D【解析】 ， 。
4【答案】A.【解析】因为 y=3sin =3sin3(x+ )，所以 y=3sin3x 的图象向左
平移 个单位长度得 y=3sin 的图象.
5【答案】C【解析】设 ，由 ，得 ，即 ，
则 ， ，
由几何概型的概率公式，得 ．故选 C．
6 答案 C【解析】A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有 AD⊥BC，又 AD 为
BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形．AD 为 BC 边上的高，则有 AB，AC 相等且最长，AD
最短．
7 答案 C【解析】 f(0)＝1－0＝1，f(f(0))＝f(1)＝1＋1＝2.
8 【 答 案 】 A 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 ： 该 几 何 体 为 四 棱 锥 ， 由 体 积 公 式 易 得
．
故选 A．
9 答案 C
10【答案】A【解析】由正弦定理知 ，又 知， ，所以由余弦定理
知： ，所以 ，故选 A．
11【答案】A【解析】由于 是定义在 上的奇函数，∴ ，且在 上
为增函数，
∴ 是 上的增函数，∵ ，所以 ，∴ ，∴ ．故
选 A．
12 答案 B 解析 对于 x2＋3xy－1＝0 可得 y＝
1
3
1
－x，∴x＋y＝
2x
3 ＋
1
3x≥2
2
9＝
2
3(当且仅当 x＝
2
2时
等号成立)．故选 B.
13 【 答 案 】 【 解 析 】 ， ， 与 的 夹 角 为 ，
，
又 ， ，故答案为 ．
14【答案】 【解析】因 ，所以 ，
15[答案] 4 解析：(1)若 a1＝m 为偶数，a2＝m
2 ，①当m
2 为偶数时，a3＝m
4 ，故m
4 ＝1⇒m
＝4；②当m
2 为奇数时，a3＝3m
2 ＋1，由3m
2 ＋1＝1 得 m＝0(舍去)．(2)若 a1＝m 为奇数，则 a2
＝3a1＋1＝3m＋1 为偶数，故 a3＝3m＋1
2 必为偶数，所以3m＋1
2 ＝1 可得 m＝1
3(舍去)．
16 [答案] 2:1[解析] 设棱锥的高为 h，VD－GAC＝VG－DAC＝
1
3S△ADC·
1
2h，VP－GAC＝
1
2VP－ABC＝VG－ABC
＝
1
3S△ABC·
h
2.又 S△ADC
S△ABC＝2:1，故 VD－GAC
VP－GAC＝2:1.
17 解 如图所示，过 C 作 CO1⊥AB 于 O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，
∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，CO1＝
3
2R，
∴V 圆锥 AO1＋V 圆锥 BO1＝1
3π·CO
2
1·AO1＋1
3π·CO
2
1·BO1＝1
3π·CO
2
1·(AO1＋BO1)
＝1
3π×3
R×2R＝π
2R3，又 V 球＝4
3πR3，∴所求几何体的体积 V＝4
3πR3－π
2R3＝5
6πR3.
……………………（10 分）
18 （Ⅰ）由 ，得 ，由 ，得 ．
所以 ．……………………（6 分）
（Ⅱ）由正弦定理得 ．
所以 的面积 ．…………（12 分）
19【答案】（1） ， 年该地区农村居民家庭人均纯收入为 千元；（2） ．
【 解 析 】 （ 1 ） 由 题 ， ，
，
代入得， ，当 时， （千元）……………………（6 分）
（ 2 ） 记 ：
，即 ，记事件 “这两年人均纯收入都高于 千
元”，
则 ， 即 ， 则
．……………………（12 分）
20 【解析】(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin
π
4 ，且 T＝π，∴ω＝2，于是 f(x)＝sin
π
4 .
令 2x－
π
4 ＝kπ＋
π
2 (k∈Z)，得 x＝
kπ
2 ＋
3π
8 (k∈Z).
即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝
kπ
2 ＋
3π
8 (k∈Z). ……………………（6 分）
(2)令 2kπ－
π
2 ≤2x－
π
4 ≤2kπ＋
π
2 (k∈Z)，
得函数 f(x)的单调递增区间为
3π
8 (k∈Z).
∵x∈
π
2 ，∴令 k＝0，
得函数 f(x)在
π
2 上的单调递增区间为
3π
8 ；
同理，其单调递减区间为
π
2 .……………………（12 分）
21 [解析] (1)等比数列{bn}的公比 q＝
b3
b2＝
9
3＝3，所以 b1＝
b2
q ＝1，b4＝b3q＝27．设等差数列
{an}的公差为 d．
因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以 1＋13d＝27，即 d＝2．所以 an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
……………………（6 分）
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1．从而数列{cn}的前 n 项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝
n(1＋2n－1)
2 ＋
1－3n
1－3 ＝n2＋
3n－1
2 ．
……………………（12 分）
22 【详解】
（1）由 可得 即
当 时，不等式解集为 ;
当 时，不等式解集为 ;
当 时，不等式解集为 .
……………………（6 分）
(2) 即 对 恒成立，
令 ，等价于 对 恒成立，
又 ，当且仅当 即 时等号成立
的取值范围为 ……………………（12 分）