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- 2021-04-27 发布
江苏省扬州市新华中学2019-2020学年高二（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有12小题，每题5分，共60分）
1.已知数列的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把数列，化简为，利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答案.
【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为，故选B.
【点睛】本题主要考查了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列，化简为，合理归纳是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.在等差数列中，，，则＝（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
分析】
根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.
【详解】由题意知：
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.
3.设等比数列的公比，前项和为，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的前n项和公式表示出 ,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。
【详解】因为，
所以
故选C
【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁
【答案】B
【解析】
【分析】
九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．
【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．
5.已知等差数列的前n项和为，则
A. 140 B. 70 C. 154 D. 77
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】等差数列的前n项和为，
.
故选D.
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.
6.数列各项均为正数，且满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令，则为以1为首项1为公差的等差数列，写出的通项公式，反解出的通项公式，带入1024计算即可得出答案。
【详解】因为，
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，
所以
所以
故选D
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题。
7.在等比数列中，已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求出等比数列的公比，令
则所求式子为等比数列的前n项和。
【详解】因为所以
令
则
故选D
【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，属于基础题。
8.设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
化简等式可得到，解出即可得出答案。
【详解】化简得
因为为等比数列，为其前项和，所以
所以
故选A
【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题。掌握性质：为等比数列，为其前项和，，是解题的关键。
9.已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：
①数列中的最大项为 ②数列的公差
③ ④
其中正确的序号是（ ）
A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
【答案】B
【解析】
∵，∴，∴
∴数列中的最大项为，
，
∴正确的序号是②③④
故选：B
10.已知数列的通项公式为，那么满足的整数（ ）
A. 有3个 B. 有2个 C. 有1个 D. 不存在
【答案】B
【解析】
因为，检验，时，
，不合题意.
时，
，满足题意
由对称性知，.所以，均满足题意
11.各项为正数的数列的前项和为，且，当且仅当和时成立，那么的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令n=1解出
将，配凑成，
故数列为以为首项为公比的等比数列，
写出数列的通项公式，解出的表达式，
根据当且仅当和时成立，即即可解出的取值范围。
【详解】当n=1时
因为
所以，又
所以
当n=1时
当n=2时
当n=3时，
因，，所以单调递增
所以
故选A
【点睛】本题考查根据一阶线性递推公式求通项公式，数列的单调性，属于中档题。
12.等比数列中，，使不等式成立的最大自然数是（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的前n项和公式分别写出等比数列的前n项和为与等比数列的前
n项和为，不等式等价于代入解不等式，即可得出答案。
【详解】由题意知
等比数列的前n项和为
等比数列的前n项和为
不等式等价于
即将代入化简得又因
所以，
故使不等式成立的最大自然数是5
选B
【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，解不等式。属于中档题。
二、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）
13.三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________.
【答案】2,4,8
【解析】
【分析】
设出这三个数根据题意联立方程组，解方程组即可得出答案。
【详解】设这三个数为 则或
所以三个数按从小到大为2,4,8
【点睛】本题考查等比数列，属于基础题。
14.已知数列的首项，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
两边取倒数即可得出数列为以1为首项1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，化简即得出数列的通项公式，代入2019即可得出答案。
【详解】因为所以，
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列即
所以，
故填
【点睛】本题考查根据递推公式求数列通项，属于基础题。
15.已知数列的前项和为，其首项，且满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用公式，化简即可得出 与的递推关系，再利用类乘法计算出数列的通项公式。
【详解】当n=1时恒成立
当时
所以
当n=1时满足
所以
故填
【点睛】本题考查已知数列与的关系，求通项公式，掌握理解公式是解本题的关键，属于基础题。
16.在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论；
解法二：化简得，令，求得，进而求得
，再由，解得或，即可得到结论．
【详解】解法一：因为①
所以②，
①②，得即，所以数列为等差数列．
在①中，取，得即，又，则，
所以．因此，
所以，，
，
所以，
又，所以时，取得最大值．
解法二：由，得，
令，则，则，
即，
代入得，
取，得，解得，又，则，故
所以，于是．
由，得，解得或，
又因为，，
所以时，取得最大值．
【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.
三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设是等差数列，，且成等比数列.
（1）求通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意列方程组，解方程组即可得出，再写出数列的通项公式即可。
（2）解出得到，即等差数列的前5项为负，第6项为0，其前n项和的最小值为前5项或者前6项的和。
【详解】（1）由题意知
解得，
所以
（2）解得，
所以
【点睛】本题考查等差数列，等差数列前n项和的最值，属于基础题。
18.已知非零数列满足，且的等差中项为6.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由知数列为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项，即可。
（2）将代入，计算出，再求和即可得出答案。
【详解】（1）非零数列满足，数列为以3为公比的等比数列；
当n=1时①
因为 的等差中项为6，所以②
联立①②得，
所以
（2）将代入得到
所以
所以
【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前n项和。属于基础题。
19.已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.
（1）求、通项公式；
（2）设其前项和为，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由等比数列的性质得出，可求出和的值，求出等差数列的首项和公式，可得出数列的通项公式，然后利用求出数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知，
由等比数列的性质可得，所以，解得，
，得，.
当时，；
当且时，.
也适合上式，所以，；
（2），
，
则，
上式下式，得
，
因此，.
【点睛】本题考查等比数列通项的求解，考查利用前项和求通项以及错位相减法求和，解题时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点就是计算量大，属于常考题型。
20.某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%.估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%.
（Ⅰ）设第年（2010年为第一年）的投入资金为万元，投资回报收入为万元，求和的表达式；
（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入?
【答案】（Ⅰ），
（Ⅱ）2014
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意分别写出首项与公比，即可写出和的表达式。
（Ⅱ）分别计算出前年的投入与回报的和再解不等式，即可得出答案。
【详解】（Ⅰ）由题意知， 所以
，所以
（Ⅱ）前年共投入
前年投资回报总收入
解得 即，
即从2014年开始该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入。
【点睛】本题考查等比数列的应用，属于基础题。
21.
设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得，因此，．当时，为等比数列，首项是，公比，所求通项公式为，；当时，，，也适合上式，故数列的通项公式为；（Ⅱ）由通项可知，，
当时，，，所以
（），当n=1时再验证一下
试题解析：（Ⅰ）依题意，，即，
由此得，因此，．
当时，为等比数列，首项是，公比，
所求通项公式为，．①
当时，，，也适合①．
故数列的通项公式为，．
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，
，
，
当时，．又．
综上，所求的的取值范围是．
考点：数列性质及其恒成立问题
22.设数列的前项和为，若对任意，都有，则称数列具有性质P.
（1）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列是否具有性质P；
（2）若正项等差数列具有性质P，求数列的公差；
（3）已知正项数列具有性质P，，且对任意，有，求数列的通项公式.
【答案】（1）数列不具有性质P
（2）0
（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意写出，，带入看是否对任意恒成立。
（2）根据题意写出，，带入对任意恒成立解出公差d即可。
（3）令m=1解出，得到，由等式说明数列为以4位首项4为公比的等比数列，计算出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式即可。
【详解】（1）由题意知，，，
，无解，
所以数列不具有性质P
（2）为等差数列，，，
又因
所以对于任意的恒成立。即
数列的公差为0
（3）令m=1得，又为正项数列，所以
又
所以
又 ，
所以
【点睛】本题考查等差数列、等比数列的前n项和公式，构造等比数列求数列通项，属于难题。