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- 2021-04-27 发布
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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．抛物线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线标准方程得准线方程，即得结果.
【详解】
因为抛物线的准线方程是，所以抛物线的准线方程是，选B.
【点睛】
本题考查根据抛物线标准方程求准线方程，考查基本分析求解能力. 属基础题.
2．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.
考点：椭圆定义．
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程得渐近线方程为，化简得结果.
【详解】
因为双曲线的渐近线方程为，化简得，选C.
【点睛】
本题考查根据双曲线标准方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力.属基础题.
4．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是( )
A． 抛物线 B． 线段 C． 直线 D． 射线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线定义判断点的轨迹为抛物线，即得结果.
【详解】
因为到定点距离等于定直线（不过该定点）距离的点的轨迹为抛物线，因此P点的轨迹是抛物线，选A.
【点睛】
本题考查根据抛物线定义判断轨迹，考查基本分析识别能力.属基础题.
5．过点与抛物线只有一个公共点的直线共有几条 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点在抛物线上，再根据公共点个数确定直线为切线或平行坐标轴，即可确定结果.
【详解】
因为，所以点在抛物线上，因此过点M的切线只有一条，又平行坐标轴的直线与抛物线也只有一个公共点，因此满足条件的直线有两条，选B.
【点睛】
本题考查直线与抛物线交点个数，考查基本分析求解能力.属基础题.
6．点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果.
【详解】
因为点在椭圆的内部，所以,解得,选A.
【点睛】
本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题.
7．双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 （ ）
A． - B． -4 C． 4 D．
【答案】A
【解析】
解：
8．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为( )
A． B． 1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据抛物线定义得线段的中点横坐标，再确定线段的中点到轴的距离.
【详解】
设则由抛物线定义得,因为，所以，即线段的中点横坐标为，从而线段的中点到轴的距离为，选C.
【点睛】
本题考查根据抛物线定义化简与求解焦点弦问题，考查基本分析求解能力.属中档题.
9．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（ ）
A． 2 B． 1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于，再列方程解得结果.
【详解】
因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于，所以，
因此双曲线的虚轴长是=2，选A.
【点睛】
本题考查双曲线有关性质，考查基本分析求解能力.属中档题.
10．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据椭圆离心率得a,b关系，再求双曲线离心率，得结果.
【详解】
因为椭圆的离心率为，所以，
因此双曲线离心率为，选B.
【点睛】
本题考查椭圆与双曲线离心率，考查基本分析求解能力.属基础题.
11．椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A． 4 B． 2 C． 1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆与双曲线定义解得再根据解三角形得面积.
【详解】
由题意得，，
所以，因此为直角三角形，的面积是，选C.
【点睛】
本题考查椭圆与双曲线定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.
12．双曲线的左右焦点分别为,过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点、，且,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线定义得,再根据余弦定理列式解得.
【详解】
根据双曲线定义得,,
在三角形，
又与圆相切，所以，
因此，（舍负），选D.
【点睛】
本题考查根据双曲线定义以及利余弦定理解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________。
【答案】e=
【解析】
试题分析：根据题意，椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则可知cos60 ==,故可知椭圆的离心率为。
考点：椭圆的方程
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60= ，是解题的关键
14．已知抛物线的准线方程为，则实数 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可知，抛物线的标准方程是，则其准线方程为，所以．
考点：抛物线的性质．
15．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，，则____
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据抛物线定义得A点坐标，再A,B,F三点共线解得B横坐标，最后根据抛物线定义得结果.
【详解】
因为，所以，
因此 .
【点睛】
本题考查抛物线定义求解点坐标，考查基本分析求解能力.属基础题.
16．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，可得．设，由点M到直线l的距离不小于，即有 ，解得．再利用离心率计算公式即可得出范围．
【详解】
设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以
，所以，设，则，故，从而，，
，所以，即椭圆的离心率的取值范围是．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
评卷人
得分
三、解答题
17．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线变为曲线
，求曲线的标准方程及参数方程.
【答案】x2＋y2＝4， （ 为参数）
【解析】
【分析】
先根据变换，结合转移法确定曲线的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程.
【详解】
设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(x′，y′)．由
且M′(x′，y′)在曲线＋4y′2＝1上， 得＋＝1，
∴x2＋y2＝4. 因此曲线C的方程为x2＋y2＝4， （ 为参数）
【点睛】
本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力.属基础题.
18．若圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点,且,求圆的标准方程
【答案】
【解析】
【分析】
先根据条件得圆心纵坐标，再根据垂径定理得圆半径，最后确定圆心横坐标，即得结果.
【详解】
由题意得圆 再根据,圆心到x轴距离为1，由垂径定理得圆半径，因此，从而圆的标准方程为
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力.属基础题.
19．在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．
（1）求的值；
（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．
【答案】（1）．（2）．
【解析】
试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．
（2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程
试题解析：
（1）∵，∴，
又∵，可得,∴，
圆心(0,0)到直线的距离为
∴．
（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，
∴直线的极坐标为，即．
20．已知点是椭圆与直线的交点，点是的中点，且点的横坐标为.若椭圆的焦距为8，求椭圆的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
先求M坐标，利用点差法得a,b关系，再根据焦距联立方程组解得a,b，即得结果.
【详解】
因为点M在直线上，点的横坐标为.所以M，
由题意知:点A,B满足
∴椭圆C的方程为
【点睛】
本题考查根据点差法求椭圆方程，考查基本分析求解能力.属中档题.
21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数,）．在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
(1)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
(2)直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求.
【答案】(1) ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2) a＝1.
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数平方关系消参数得C1的普通方程，再根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ化为极坐标方程，（2）联立极坐标方程解得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，再根据tan θ＝2化简得1－a2＝0，解得a＝1.
【详解】
(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组，若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0
，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及极坐标方程应用，考查基本分析求解能力.属中档题.
22．已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为
（1）写出抛物线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，点为坐标原点，求重心的轨迹方程；
（3）点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点分别是.当点在何处时，的值最小？求出的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线定义以及标准方程可得结果，（2）根据重心坐标公式得与A,B坐标关系，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理得重心坐标参数方程，消去参数得轨迹方程，（2）根据射影定理得，再利用两点间距离公式求，结合二次函数性质求最值，即得结果.
【详解】
解：（1）抛物线方程为：.
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为，代入，得：
设，则，设△AOB的重心为则
，消去k得为所求，
②当直线垂直于x轴时， △AOB的重心也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为
（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径，
根据圆的性质有：
当最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为，则
∴当，时，取最小值5，
故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.
【点睛】
本题考查抛物线定义、利用消参法得轨迹方程以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力.属中档题.