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- 2021-04-27 发布
2018-2019学年山东省夏津一中高二第一次月考数学试题
一．选择题（共13小题，1-10为单选题，11-13为多选题，共52分）
1．给出下列命题中正确的是（ ）
A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．棱柱的底面一定是平行四边形
D．棱锥的底面一定是三角形
2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.2
3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
4．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，则该圆柱的外接球表面积为（ ）
A． B．4π（π2+1） C． D．4π（π+1）
5．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
7．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，
B′O′=O′C′=1，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题：
①若a∥b，b∥α，则a∥α；
②若a⊥b，b⊥α，c⊥α，则a⊥c；
③若a⊥b，b⊥α，则a∥α；
④若a∥b，b∥α，b⊂β，a∩β=c，则a∥c．
其中错误命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
10．如图1—2—87所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C
12．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：A若m⊥α，m⊥n，则n∥α；B若m⊥β，n⊥β，则n∥m；C若m⊥α，m⊥β，则α∥β；D若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；则正确的（ ）
13．对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件：
A存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；
B存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ；
Cα内有不共线的三点到β的距离相等；
D存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
14．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ．
15．现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2．则的值为 ．
16．棱长为a的正四面体的内切球半径为 外接球的半径为
17.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BDD1．
18．在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=4，AC=3，AD=1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE= ．
三．解答题（共6小题，每小题13分，共78分）
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；
（2）求证：EF⊥B1C．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB=90°，CB=CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB=PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD．
21．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．
（1）求证：BN∥平面A1MC；
（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．
22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，Q是A1B1的中点．
（I）求证：AQ∥平面PBC1；
（Ⅱ）若BC=CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB的中点．
（1）证明：PD∥平面CEF；
（2）若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面体P﹣DEF的体积．
24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD的中点，点M在棱CC1上，CM=tCC1（0＜t＜1）．
（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？
（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．
夏津一中高二上学期第一次月考数学试题答案
一．选择题（共13小题）
1AADBC．CADAB．
11．ACD 12．BC 13．AD
二．填空题（共5小题）
14．15π．15．．16. 、 17．M在线段FH上18．．
三．解答题（共6小题）
19．证明：（1）由题知，EF是△AA1B的中位线，
所以EF∥A1B……………（2分）
由于EF⊄平面BC1A1，A1B⊂平面BC1A1，
所以EF∥平面BC1A1．……………（6分）
（2）由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1．……（8分）
又∠A1C1B1=∠ACB=90°，所以A1C1⊥C1B1．
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1⊂平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1，
又CC1∩C1B1=C1，CC1，C1B1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，
又B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………（10分）
因为A1C1∩BC1=C1，A1C1，BC1⊂平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1．……………（12分）
又A1B⊂平面BC1A1，所以B1C⊥A1B．
又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C．……………（13分）
20．证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，
因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．
因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．
又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．
因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．
解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，
又EO⊄平面PAD，所以EO∥平面PAD．
由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，
又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD．
又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，
而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．
21．证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，
又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．
所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．
又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；
（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，
所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．
又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．
则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，
CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．
又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．
又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，
所以AB1⊥平面A1MC．
又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．
21．证明：（1）取AB中点为R，连接PR，B1R
∵点P是CD中点，Q是A1B1的中点，
∴四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形，
∴AQ∥B1R，B1R∥PC1，∴AQ∥PC1．
∵AQ⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，
∴AQ∥平面PBC1．
（Ⅱ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，BC=CC1，
∴B1C⊥BC1．
∵A1B1⊥平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1．
∵A1B1∩B1C=B1，A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，
∴BC1⊥平面A1B1C，BC1⊂平面PBC1，
∴平面A1B1C⊥平面PBC1．
22．（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O，
∵E为线段AD的中点，AD∥BC，，
∴BC∥ED，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴O为BD的中点，又F是BP的中点，
∴OF∥PD，
又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，
∴PD∥平面CEF；
（2）解：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，
∴AB=AE=BE，
∴三角形ABE是等边三角形，
∴，
做BH⊥AD于H，则，
∵PE⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，BH⊥AD，BH⊂平面ABCD，
∴BH⊥平面PAD，
∴点B到平面PAD的距离为，
又∵F为线段PB的中点，
∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半，即，又，
∴=．
23．解：（Ⅰ）由题可知，CM=2t，C1M=2﹣2t，
∴V1=S△ECF•CM==，
V2=S•C1M=（2﹣2t）=（1﹣t），
∴V1•V2=≤•（）2=．
当且仅当t=1﹣t，即t=时等号成立．
所以当t=时，V1•V2最大，最大值为．
（Ⅱ）连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，
∵A1C∥平面B1D1M，平面A1CC1∩平面B1D1M=OM，
∴A1C∥OM，∴M为CC1的中点，
连接BD，∵E，F为BC、CD的中点，
∴EF∥BD，又AC⊥BD，∴AC⊥EF．
∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，
∴AA1⊥EF，又AA1∩AC=A，
∴EF⊥平面A1AC，又A1C⊂平面A1AC，
∴EF⊥A1C．
同理可得：EM⊥A1C，又EF∩EM=E，
∴A1C⊥平面EFM．
又A1C∥平面B1D1M，
∴平面EFM⊥平面B1D1M．