- 1.24 MB
- 2021-04-27 发布
定远县民族中学2019-2020学年上学期期中考试
高二理科数学试题
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
3.如图正方形折成直二面角，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.设为两个不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若， ，则；②若， ， ， ，则；③若， ，则；④若， ，且， ，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
5.如下图，在棱长为1的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）
（注：1丈=10尺=100寸， ， ）
A. 633立方寸 B. 620立方寸 C. 610立方寸 D. 600立方寸
7.正四棱柱中， ，则与平面所成角的正弦值为（
）
A. B. C. D.
8.在棱长为1的正方体中， 是棱的中点， 是侧面内（包括边）的动点，且平面，沿运动，将点所在的几何体削去，则剩余几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.在正方体中， 为棱上一动点， 为底面上一动点， 是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）
A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分
10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 绘制该四面体三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）
A.B.C.D.
11.已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）， ， ， （2），
（3）， ， （4），
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
12.在正方体中， 在线段上运动且不与， 重合，给出下列结论：
①；
②平面；
③二面角的大小随点的运动而变化；
④三棱锥在平面上的投影的面积与在平面上的投影的面积之比随点的运动而变化；
其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ①③ C. ①②④ D. ①②
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点， 圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面 ，交PB,PC分别于E,F，当三棱锥P-AEF体积最大时，
= ．
14.已知矩形 ,沿对角线 将它折成三棱椎 ，若三棱椎 外接球的体积为 ，则该矩形的面积最大值为 .
15. 如图，已知正方体的棱长为，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为__________．
16.三棱锥中， 分别为的中点，记三棱锥的体积为， 的体积为，则_________.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.（10分）如图的三个图中，左面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图（单位： ）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．
18. （12分）如图，在三棱锥中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．
（1）求证: 平面平面；
（2）求证: 平面；
（3）求三棱锥体积．
19. （12分）如图，正方体棱长为，连接， ， ， ， ， ，得到一个三棱锥，求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的体积.
20. （12分）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ,且 , 是棱 的中点，点 在侧棱 上运动.
（1）当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
（2）当直线 与平面 所成的角的正切值为 时，求二面角 的余弦值.
21. （12分）如图，在四棱锥中， 是正方形， 平面． ， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证：平面平面．
（2）在线段上确定一点，使平面，并给出证明．
22. （12分）如图 1，在直角梯形中， ，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直， 为的中点，如图 2．
（1）求证： 平面；
（2）求证： 平面；
（3）求点到平面的距离.
参考答案
1.D 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A 8.B 9.A 10.B 11.C 12.D
13. 14. 15. 16.
17.
18.（1）证明：在三棱锥中，底面．
又因为平面,所以平面平面．
（2）证明：取的中点，连接．
因为分别是的中点，所以，
且，且，且，
所以四边形为平形四边形，所以．
又因为平面平面平面．
（3）因为．
所以三棱锥的体积．
19.（1）；（2）
解：（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，∴三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为
（2）三棱锥的体积为
20. 解：（1）取线段 的中点 ，连结 .
∵ ,∴ ，且 .
又 为 的中点，∴ ,且 .
∴ ,且 .∴四边形 是平行四边形.∴ .
又 平面 平面 ,∴ 平面 .
（2）解：∵ 两两垂直，∴以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图,
∵三棱柱 中， 平面 ，∴ 即为直线 与平面 所成的角.
设 ，则由 ，得 .
∴ .∴ ,
设平面 的一个法向量为 ，
则
令 ，得 ，即 .又平面 的一个法向量为 ,∴ ,
又二面角 的平面角为钝角，∴二面角 的余弦值为 .
21.解：（）∵中， ， 分别是， 的中点，∴，又∵四边形为正方形，得，∴，∵平面， 面，∴面．同理面，∵， 是面内相交直线，∴平面平面． 为中点时， 面．
（2）为线段中点时， 平面，证明：取中点，连接， ， ，∵，且，∴四边形为梯形，由面， 面，得，∵， ，∴面，又面，∴．∵为等腰直角三角形， 为斜边中点，∴，∵， 是面内的相交直线，∴面．
22.解： (1)证明：取中点，连结.
在中， 分别为的中点，
所以,且.
由已知,
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面,且平面，
所以平面.
(2)证明：在正方形中， ,
又因为平面平面，且平面平面,
所以平面.
所以
在直角梯形中， ,可得.
在中， .
所以.
所以平面.
(3)由(2)知，
所以,又因为平面
又.
所以， 到面的距离为