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- 2021-04-27 发布
云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试
理 科 数 学 试 卷
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合,,则为( )
A. B. C. D.
2.已知四边形是菱形，若，则的值是 ( )
A. －4 B. 4 C. －1 D. 1
3.设函数则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
4.欧阳修《卖炭翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为圆,中间有边长为的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A. B. C. D.
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．10 B．17 C．5 D．15
6.设函数，则下列结论错误的是( )
A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在单调递减
7.已知，并且成等差数列，则的最小值为( )
A．2 B．4 C．5 D．9
8.若，则( )
A． B． C． D．
9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米.
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
10. 执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数为偶函数，记，则( )
A. B.
C. D.
12.已知点,点B在曲线上,若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点,则称为曲线关于曲线的一个“关联点”.那么曲线关于曲线的“关联点”的个数为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则的值为__________
14.已知数列满足且，则___________.
15.已知，则___________.
16.在正方体中(如图),已知点在直线上运动.
则下列四个命题:
①三棱锥的体积不变;
②直线与平面所成的角的大小不变;
③二面角的大小不变;
④是平面内到点和距离相等的点,则点的轨迹是直线.
其中正确命题的编号是___________. (写出所有正确命题的编号)
三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. （本题满分10分）记等差数列的前n项和，已知.
(1)若，求的通项公式;
(2)若，求使得的n的取值范围.
18. （本题满分12分）某校高二(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(1)求分数在的频率及全班人数;
(2)求分数在之间的频数,并计算频率分布直方图中间矩形的高;
(3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在之间的概率
19.（本题满分12分）在平面四边形中，，，．
(1)求的正弦值；
(2)若，且的面积是面积的4倍，求的的长.
E
D
C
B
A
P
20.（本题满分12分）如图,在四棱锥中,底面是一直角梯形, ,
, ,,底面,与底面成角,点是的中点.
(1)求证: ;
(2)求二面角的余弦值.
21. （本题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式:.
22. （本题满分12分）已知圆与直线，动直线l过定点.
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
官渡一中高二年级2019-2020学年上学期期中考试
理 科 数 学 试 卷 参 考 答 案
一、选择题
1.答案：A
解析：,,,故选A.
2.答案：D
3.答案：A
4.答案：A
5.答案：A
6.答案：D
7.答案：D
8.答案：D
9.答案：D
解析：对于选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于时的燃油效率大于,
故乙车消耗升汽油的行驶路程可大于千米,所以错误.
对于选项,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少.
C.根据图像可知,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,行程80千米,此时油耗为10千米每升,所以消耗8升汽油.
D.从图像可以看出速度不超过80千米/小时时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,所以用丙车比用乙车更省油.
10.答案：C
11.答案：C
12.答案：B
解析：设,线段的中点为,则
又点在曲线上,所以,即
此方程的解的个数可以看作函数与的图象的交点个数画出图象,
如图所示,可知函数与的图象只有个交点故选B。
二、填空题
13.答案：
14.答案：2012
解析：由题意可知是以为首项,2为公比的等比数列,，.
15.答案：
解析：∵已知，则，
故答案为：．
16.答案：①③④
三、解答题
17. （本题满分10分）
(1)因为,所以,即.
又因为,所以,解得,
所以.
(2)因为,所以,
所以，
.
因为所以.
因为,所以,
整理得,解得.
所以n的取值范围是.
18. （本题满分12分）
（1）分数在的频率为,由茎叶图知:分数在之间的频数为2,所以全班人数为.
（2）分数在之间的频数为;
频率分布直方图中间的矩形的高为.
（3）将之间的3个分数编号为 ,之间的2个分数编号为 ,在之间的试卷中任取两份的基本事件为：,共10个,
其中,至少有一个在之间的基本事件有7个,故至少有一份分数在之间的概率是.
19. （本题满分12分）
解：(1)在中，设
由余弦定理得
整理得，解得
所以
由正弦定理得
解得
（2）由已知得
所以
化简得
所以
于是
因为，且为锐角，所以
代入计算
因此
20.（本题满分12分）
解法一:(1)证明:连结AE
…………………………6分
(2)连结AC,在直角梯形ABCD中,
所以,所求二面角的余弦值为. …………………………12分
解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系,由已知可得:
A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0),
D(0,2,0), P(0,0,2), E(0,1,1),
(2),
,
由
得
令y=1,则n=(1,1,1),
∴所求二面角的余弦值为. …………………………12分
21. （本题满分12分）
（1）由题意,得,
所以,故.
（2）任取,
则.
因为,所以.
又,所以.
所以,所以在上是增函数.
（3）因为在上是增函数,
所以,所以.
所以不等式的解集为
22. （本题满分12分）
(1)当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为，此时与圆相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，即，
若直线与圆相切，则圆心 到直线的距离等于半径1，
所以，解得 ，所以直线的方程为，即.
综上，直线l的方程为或.
(2)∵⊥，
∴
若直线l与x轴垂直时，不符合题意；
所以l的斜率存在，设直线l的方程为，
因为直线l与圆C相交于P、Q两点，则
则由，即．
∴，
从而．
综上所述， 是为定值，．