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- 2021-04-27 发布
高一数学（月考卷）
时间：120分钟满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）
1.设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求，再求．
【详解】因为，
所以.
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数式的真数部分大于零得到，由此求解出的取值范围即为定义域.
【详解】函数有意义，应满足，
即，解得.
故所求函数的定义域为.
故选：A.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，难度较易.求解对数型函数的定义域，注意对数式的真数大于零.
3.已知a=log23.4，b=2.11.2，c=log0.33.8，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性,判断a,b,c的范围，即可得解．
【详解】1=log22＜a=log23.4＜log24=2，
b=2.11.2＞2.11=2.1，
c=log0.33.8＜log0.31=0，
则a、b、c的大小关系为c＜a＜b．
故选B．
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据幂函数过点求解出幂函数解析式，再代入点的坐标即可求解出的值.
【详解】设，依题意可得，
所以.所以.
故所求实数.
故选：D.
【点睛】本题考查幂函数解析式的求解以及根据幂函数解析式求参数值，难度较易.已知幂函数所过点求解幂函数解析式，可通过设出幂函数解析式形式去求解.
5.的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
函数f（x）=ex﹣是（0，+∞）上的增函数，再根据f（）=﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，可得f（）f（1）＜0，∴函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（，1），故选B．
点睛：判定函数零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.
6.已知，表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出的单调性，然后通过计算与的大小关系，确定出的取值范围，从而可求.
【详解】因为函数与在R上都是增函数，
所以在R上也是增函数.
又因为，，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，难度较易.
已知函数值大小，若要确定自变量的范围，可通过采用赋值的方法进行判断.
7.用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所取的初始区间的端点值对应的函数值异号进行逐项判断即可.
【详解】因为，
所以，
所以函数在上有零点.
故可以取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算.
故选：A.
【点睛】本题考查二分法的概念理解，难度较易.
8.已知函数定义域为，满足 ，当时，，则函数的大致图象是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由，知是奇函数，故排除C,D；当时，，从而A正确.
考点：函数的图像，函数的性质，对数函数.
9.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，，故选D.
10.已知在上是的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据且可判断的单调性,进而分析的单调性,结合定义域即可.
【详解】由题, 且,故为减函数,又在上是的减函数,故为增函数,故.又定义域为,故.所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了对数类复合函数的单调性,属于中档题.
11.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先判断出的奇偶性，然后根据的单调性以及特殊值作出一个函数图象，利用数形结合思想求解出不等式解集.
【详解】由题设易知为奇函数，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
且，
所以可画一个适合题意的函数的图象（如图1所示）.
故由图1观察即得不等式的解集是.
故选：B.
【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，难度一般.解答此类问题时，通过画辅助图象的方法进行求解更方便.
12.对于任意实数a，b，定义，设函数，则函数的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知条件确定出的解析式，然后根据的单调性求解出的最大值.
【详解】令，所以是上的增函数，且，
所以由题意得，
当时，增函数；
当时，是减函数.
故函数在时，取得最大值.
故选：B
【点睛】本题考查取最小值函数以及分段函数的单调性分析和最值求解，难度一般.涉及到取最大值函数或者取最小值函数的问题，亦可以通过函数图象进行分析求解.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知集合A={1，5}，B={x|ax﹣5=0}，A∪B=A，则a的取值组成的集合是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由,得，再讨论当①时， ②当时，满足的实数的值.
【详解】解：因为,所以，
①当时，，满足，
②当时，B=,由，则有或，解得或，
综上可得的取值组成的集合是.
【点睛】本题考查了集合的运算及集合的关系，属基础题.
14.函数的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
15.已知函数，若，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先将化为，然后根据已知条件进行求解即可.
【详解】因为，
而，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查对数的计算以及函数值计算，难度较易.
16.已知函数，若，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式形式考虑构造函数，利用的单调性求解的范围，注意分析定义域.
【详解】注意到不等式左右两边的外在结构相同，
所以可构造函数，
易知该函数在其定义域上单调递增.
又由已知不等式得，
所以可知，解得.
故实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查构造函数并利用函数单调性求解参数范围，难度一般.利用构造函数解决不等式恒成立问题，除了需要根据已知不等式列出自变量满足的不等式，同时需要注意分析新函数的定义域.
三、解答题
17.计算下列各式的值：
（）．
（）．
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】
(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值.
【详解】（）原式（或写成）．
（）原式．
【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
18.已知集合，．
（1）求集合；
（2）已知集合，若集合，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据集合的意义对集合A、B进行化简即可；（2）先求出，再根据建立不等式即可．
【详解】（1）由，所以
由，所以
（2）由，
根据，则或，
所以或
【点睛】本题主要考查集合的化简与基本运算，属于基础题．在解决此类问题时，首先要明确集合表示的意义，依据意义进行化简，其次把集合间的关系转化为图形表示，如在数轴进行表示，最后，把图形表示转化为不等式组，从而解决问题．此过程体现了转化思想、数形结合思想等．
19.已知函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对任意成立，求实数c的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据图象经过点和，得到关于的方程组，从而的解析式可求；
（2）先化简原不等式，采用分离参数法，根据指数函数的单调性以及不等式恒成立思想求解出的取值范围.
【详解】（1）因为函数的图象经过点和，
所以，
又注意到，从而解得.
故函数的解析式为.
（2）因为由（1）知对任意恒成立，
所以由题设得不等式，
即，亦即对任意恒成立.（*）
又易知函数在上单调递增，
所以根据（*）可得.
故所求实数c的取值范围.
【点睛】本题考查指数型函数的解析式求解以及在给定区间上根据不等式恒成立求解参数范围，难度一般.对于不等式恒成立求解参数范围的问题，主要的求解方法有两种：分离参数法、分类讨论法.
20.已知函数，是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）画出函数的图象，并根据图象求解下列问题；
①写出函数的值域；
②若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）作图见解析①值域为②
【解析】
【分析】
（1）采用特殊值加检验的方法求解出的值；
（2）先根据解析式作出的图象：
①直接根据图象写出的值域；②根据图象判断出的单调递增区间，由此得到关于的不等式组，从而求解出的取值范围.
【详解】（1）因为是奇函数，所以，
即.
解得.
又易检验知：当时，是奇函数.故所求实数m的值为2.
（2）由（1）得，
如图，画出函数的图象.
①由图知，函数的值域为.
②由图知，函数的单调递增区间为，
所以根据函数在区间上单调递增，
可知需满足，解得.
故所求实数m的取值范围为.
【点睛】本题考查根据分段函数奇偶性求解参数、函数图象的应用，难度一般.已知函数的奇偶性求解参数的问题，可以采用计算特殊值并检验的方法，也可以采用定义法去计算.
21.已知函数，且满足.
（1）求函数的定义域及a的值；
（2）若关于x的方程有两个不同的实数解，求t的取值范围.
【答案】（1）定义域为；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据对数式的真数大于零列出关于的不等式组，从而定义域可求；再根据求解出的值；
（2）通过化简将问题转化为二次函数在区间内有两个零点，根据二次函数的零点分布列出满足的不等式组，求解出的取值范围即可.
【详解】（1）由，解得.
所以函数的定义域为.
因为，
所以.
所以.
又，
故化简得所求.
（2）由（1）可知，其中，
所以由题设得关于x的方程在内有两个不同的实数解.（*）
设函数，
则因为该函数图像的对称轴方程为，
所以结合（*）知只需，
解得.
故所求实数t的取值范围是.
【点睛】本题考查对数型函数与二次函数的零点分布的综合应用，难度一般.解答有关二次函数的零点分布问题，对于对称轴、与的关系、特殊点处函数值的分析是重要突破点.
22.已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：函数在上单调递减；
（3）求函数在闭区间上的最小值和最大值.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明是偶函数，注意定义域的分析；
（2）利用定义法证明在上单调递减，注意函数单调性的证明步骤；
（3）根据的单调性、奇偶性确定出在上的最值.
【详解】（1）易知函数的定义域为R，显然关于原点对称.
又因为，
故根据偶函数的定义可知，函数是偶函数.
（2）任取，且设，则
.
又由，得，所以；
易知，
所以，所以.
于是，可得，
即.
故根据函数单调性的定义，可知函数在上单调递减.
（3）根据（1）、（2）知函数的图象关于y轴对称，
且在上单调递减，在上单调递增.
据此易得函数在闭区间上的最小值为，最大值为.
【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性以及利用函数的单调性和奇偶性求解函数在给定区间上的最值，难度一般.（1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称；（2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论.