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- 2021-04-27 发布
宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期
高二年级期中考试试卷数学（理科）试题
考试时间：2018年11月
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）
A. B． C． D．
2．用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（ ）
A． B． C． D．
3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
4．圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
5．有件产品编号从到,现在从中抽取件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为( )
A.5,10,15,20,25 B.5,15,20,35,40 C.10,20,30,40,50 D.5,11,17,23,29
6．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( )
A． B． C． D．
7．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或 等于的颗粒物,也称为细颗粒物,一般情况下浓度(单位: )越大,大气环境质量越差.如图所示的是
宜昌市区甲、乙两个监测站某日内每日的浓度读数的茎叶图,则下列说法正确的是( )
A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等
B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大
C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等
D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等
9.点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )
A. B.
C. D.
10．两圆与的公共弦长等于( )
A. B. C. D.
11.若实数满足则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12．已知点,，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是( )
A.（0，） B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. =__________.
14．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________．
15．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 .
16.如图,已知直线与轴、轴分别交于,两点, 是以为圆心, 为半径的圆上一动点,连接,,则面积的最大值是
第Ⅱ卷
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）
17．（本题满分10分）
在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边,且．
(Ⅰ) 确定角C的大小;
(Ⅱ) 若,且的周长为,求的面积．
18．（本题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图．
(Ⅰ) 求直方图中x的值；
(Ⅱ) 求月平均用电量的众数、中位数；
(Ⅲ) 在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
19．（本题满分12分）
如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.
20．（本题满分12分）
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
(Ⅰ) 画出数据对应的散点图；
(Ⅱ) 求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(Ⅲ)据(Ⅱ)的结果估计当房屋面积为时的销售价格.
附：对于一组数据， ，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
21．（本题满分12分）
如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点
(Ⅰ)若直线平行于,与圆相交于两点, ,求直线的方程;
(Ⅱ)在圆上是否存在点,使得若存在, 求点的个数;若不存在,说明理由.
22．（本题满分12分）
已知各项均为正数的数列,满足 且.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设,若的前n项和为,求；
(Ⅲ)在（2）的条件下,求使成立的正整数n的最小值．
宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期
高二年级期中考试试卷数学试题（理科） 答案
1—12. BDBAC CDCAD AB
13. 14. ＋＝1 15. 9 16.
17．解：（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以.
所以或. 因为是锐角三角形， 所以.
（2）因为，且的周长为，所以a+b=5 ①
由余弦定理得 ，即 ②
由②变形得，所以ab=6，得.
18. 解：(Ⅰ)由直方图的性质可得(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解方程可得x＝0.007 5.
∴直方图中x的值为0.007 5；(2分)
(Ⅱ)月平均用电量的众数是＝230，------(4分)
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，
设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5可得a＝224.
∴月平均用电量的中位数为224；--------(6分)
(Ⅲ)月平均用电量为[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25，
月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15，
月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10，
月平均用电量为[280，300)的用户有0.002 5×20×100＝5，
∴抽取比例为＝，--------(11分)
∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×＝5（户）．-------（12分）
19. 证明：（Ⅰ）由AB是圆的直径，得，
由平面ABC，平面ABC，得．
又，平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC．
因为平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：过C作CM//AP，则CM⊥平面ABC．
如图（1），以点C为坐标原点，分别
以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z
轴建立空间直角坐标系．
第18题图（1）
在Rt△ABC中，因为AB=2，AC=1，
所以．
又因为PA=1，所以A（0，1， 0），B（，0，0），P（0，1，1）．
故．
设平面BCP的法向量为，
则所以
不妨令，则．
因为
设平面ABP的法向量为，
则所以
不妨令，则．
于是．
由图（1）知二面角C-PB-A为锐角，
故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分
（Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，平面ABC，
所以PA⊥CM．
又因为，且平面PAB，平面PAB，
所以CM⊥平面PAB．
过M作MN⊥PB于N，连接NC，
由三垂线定理得CN⊥PB，
所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，
第18题图（2）
得，，．
在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得．
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，
所以，所以
所以在Rt△CNM中，，
所以，
所以故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分
20.（1）数据对应的散点图如图所示：
（2），，
设所求回归直线方程为，
则，
故所求回归直线方程为
（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：
（万元）
21. 解析：1.圆的标准方程为,
所以圆心,半径为.
因为,所以直线的斜率为,
设直线的方程为,
则圆心到直线的距离为
因为,
而,所以,
解得或,
故直线的方程为或.
2.假设圆上存在点,设,则,,
即,即,
因为
所以圆与圆相交, 所以点的个数为
22．解：（1）∵，
∵数列的各项均为正数，∴，
∴，即
所以数列是以2为公比的等比数列.
∵，∴数列的通项公式.
（2）由（1）及得，，
∵，
∴①
∴②
②-①得
（3）要使成立，只需成立，即，
∴使成立的正整数n的最小值为5.
附：双向细目表
高_二 _数学理_科期中考试命题双向细目表
题型
题号
考察知识点（非章节节点）
预估难度系数
能力要求
分值
备注
了解识记
理解
掌握
灵活运用
选择题
1
直线倾斜角月斜率
0.9
√
5
2
辗转相除法
0.9
√
5
3
直线的定点问题
0.9
√
5
4
圆的标准方程
0.9
√
5
5
抽样方法
0.9
√
5
6
样本的数字特征
0.8
√
5
7
圆的切线问题
0.7
√
5
8
茎叶图
0.8
√
5
9
求轨迹方程
0.7
√
5
10
两圆的位置关系
0.6
√
5
11
直线与圆的关系应用
0.6
√
5
12
直线的特征量的理解应用
0.4
√
5
填空题
13
k进制互化
0.8
√
5
14
相切类求圆的方程
0.7
√
5
15
程序框图
0.7
√
5
16
直线与圆的最值问题
0.6
√
5
解答题
17
解三角形
0.7
√
10
18
频率分布直方图、抽样方法
0. 8
√
12
19
线与面位置关系及计算
0.7
√
12
20
回归直线方程
0.8
√
12
21
直线与圆、圆与圆的位置关系
0.7
√
12
22
数列通项、求和及应用
0.6
√
12
整套试题的难度系数0.7