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- 2021-04-27 发布
2019-2020学年度下学期线上期中考试数学试题
第I卷（选择题)
一、单选题（共60分，每小题5分)
1．在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．28 C．8 D．8
2．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据， ， ， ， ．根据收集到的数据可知+++ =150，由最小二乘法求得回归直线方程为，则++++的值为（ ）
A．75 B．155.4 C．375 D．466.2
3．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：
由上表中数据计算得= 6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（ ）
A．1％ B．99％ C．2.5％ D．97.5％
4．在2017年某校的零起点小语种保送面试中，我校共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男2女五位英语生作为推荐对象，则不同的推荐方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝( )
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）
A． B． C．为减函数 D．为增函数
8．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
9．某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为f(x)=,则下列命题中正确的是( )
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，记其和等于30的概率是,其和仍是素数的概率是，则：
11．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
12．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值可以是
A．-1 B． C．-e D．0
第II卷（非选择题)
二、填空题（共20分，每小题5分)
13．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为___________．
14．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
15．曲线在点处的切线的斜率为，则________．
16．已知函数，则的最小值是_____________．
三、解答题（共70分，17题10分，18题至22题每题12分)
17．（1）求证：；
（2）求 被除的余数.
18．某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为.若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.
19．已知函数，且当时，取得极值为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，
21．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
22．已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的
2019-2020学年度下学期线上期中考试数学试题
参考答案
1． B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．A 9．ACD 10．AC 11．BC 12．ABD
13．-1 14．16 15． 16．
17．解： (1)证明: 即证
(2)证明:因为(1)
所以
而又
所以除所得余数为
18．（1）；（2）．
【解析】解：（1）由已知条件得
……2分
即，则……4分
答：的值为．
（2）解：可能的取值为0，1，2，3…… 5分
……6分
……7分
……8分
……9分
的分布列为：
0
1
2
3
……10分
所以 ……12分
19．（1）（2）
解：（1），
由题意得，，即，
解得，
∴.
（2）由有两个不同的实数解，
得在上有两个不同的实数解，
设，
由，
由，得或，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
由题意得，即，
解得，
20．（1）第二种生产方式的效率更高. （2）80（3）能
解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知.
列联表如下：
超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
21．(1)0.1.
(2)i)490；ii)应该对余下的产品作检验.
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
22．（1）见解析；（2）
解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.