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- 2021-04-27 发布
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重庆市九龙坡区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理科)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角.
【详解】
因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.
【点睛】
本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.
2．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．
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3．下列说法错误的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
C．若为假命题，则均为假命题
D．命题：，使得，则:，均有
【答案】C
【解析】
中只要有一个是假命题，则为假命题，因此C错误，故选C．
4．设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得抛物线的焦点，可得双曲线的c，由离心率公式和a，b，c的关系，解方程组可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【详解】
由题得抛物线的焦点为，
所以双曲线的，即，
由，
解得，
则双曲线的方程为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】A
【解析】
【分析】
对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．
【详解】
对于A，根据线面平行性质定理即可得A选项正确；对于B，当，时，若，，则，但题目中无条件，故B不一定成立；对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；对于D，若，，则与平行或异面，则D错误，故选A.
【点睛】
本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键．
6．已知双曲线 ，直线交双曲线于两点，若的中点坐标为，则l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则
所以 ，选C.
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
7．某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出底面的半径，进一步利用弧长公式和勾股定理求出结果得解．
【详解】
根据几何体的三视图如图所示：
由于底面周长为8，得到，
解得，
所以点M到N在下底面上的射影的弧长为，
把圆柱的侧面展开得到从M到N的路径中的最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三视图和几何体之间的转换，考查弧长公式的应用，考查展开法和学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
8．椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.
【详解】
由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.
【点睛】
本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.
9．如图，在所有棱长均为2的直三棱柱中，D、E分别为、的中点，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设的中点，以为轴建立坐标系，分别求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
【详解】
设的中点，以为轴建立坐标系，
则，
则，
设与成的角为，
则，故选C.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
10．动圆M与定圆C：x2＋y2＋4x＝0相外切，且与直线l：x－2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为( )
A．y2－12x＋12＝0 B．y2＋12x－12＝0
C．y2＋8x＝0 D．y2－8x＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r，d=r，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程．
【详解】
设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r，d=r
∴|MC|﹣d=2，即：﹣（2﹣x）=2，
化简得： y2＋12x－12＝0．
∴动圆圆心轨迹方程为y2＋12x－12＝0．
故选：B．
【点睛】
本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
11．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得
的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得，表示平面上点与点，的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．
【详解】
，
表示平面上点与点，的距离和，
连接NH，与x轴交于，
由题得，
所以，
的最小值为，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．
12．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据椭圆和双曲线的定义得到，再根据椭圆和双曲线的离心率得到
，即得，再换元结合函数（3＜t＜4）的单调性求出的取值范围.
【详解】
设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定可得，
解得，，
由，可得，
即，
由，，可得，
由，可得，
可得，即，
则，
可设，则，
由于函数在递增，所以．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
13．已知直线：，：平行，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线平行时，列方程求出m的值得解．
【详解】
直线：，：平行，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查两直线平行的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．在四面体中，面BCD，，，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算出直角的外接圆直径BD，再利用公式可得出外接球的直径，再利用球体表面积公式可得出答案．
【详解】
，所以直角的外接圆直径为．
平面BCD，所以四面体ABCD的外接球直径为．
因此，该球的表面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．
15．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先找到三视图对应的几何体原图，进一步利用几何体的体积公式的运算求出结果．
【详解】
根据几何体的三视图找到对应的几何体原图是如图所示的三棱锥C-ABD，
其中BD=2,△ABD的面积为.
所以．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查三视图和几何体的转换，考查几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16．已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，
，则C的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题得直线AP的方程为，直线的方程为，即联立，解得P点坐标再根据为等腰三角形，，可得利用两点之间的距离公式即可得出C的离心率．
【详解】
如图所示，
直线AP的方程为，
直线的方程为，即．
联立，解得，．
为等腰三角形，，
．
，
所以．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知命题；命题q：关于x的方程有两个不同的实数根．
若为真命题，求实数m的取值范围；
若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
先求出p和q为真命题时m的范围，然后再求范围对应的集合的交集得解；若为真命题，为假命题等价于命题p，q一真一假，按照p真q假和p假q真两种情况解不等式组即得解.
【详解】
当命题p为真时，得
当命题q为真时，则，解得
若为真，则p真q真，
，解得，
即实数m的取值范围为
若为真命题，为假命题，则p，q一真一假，
若p真q假，则，解得；
若p假q真，则，解得
综上所述，实数m的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了复合命题及其真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
18．已知圆C：内有一点，直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为．
当时，求弦AB的长；
当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)先根据点斜式得直线方程，再根据点到直线距离得圆心到直线距离，最后根据垂径定理求弦长，(2)设直线方程，根据圆心到直线距离为OP，列方程解得斜率，即得直线方程.
【详解】
：，
圆心到距离为，所以弦长为，
（2）圆心到距离为,设：
所以
【点睛】
涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.
19．如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，，M是的中点，N是中点．
证明：平面；
若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
连接，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；
设底面边长为a，转化三棱锥的顶点为M，利用体积不难列出方程求得a值．
【详解】
解：证明：连接 C，
是的中点，
又N是的中点，
C，
又平面， 平面，
平面
解：，
是的中点，
到平面的距离是C到平面的距离的一半，
如图，作交AB于P，
由正三棱柱的性质，
易证平面，
设底面正三角形边长为a，
则三棱锥的高，
，
解得．
故该正三棱柱的底面边长为．
【点睛】
此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．
20．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程．
（2）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义4，求出，即可得到抛物线的方程．
（2）设，联立，得，
令，得.由，由韦达定理，可得，解出验证即可.
【详解】
（1）已知抛物线过点，且
则， ∴，
故抛物线的方程为．
（2）设，
联立，得，
且，
由，
则
∴，
经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不合题意，
由知
综上，实数的值为．
【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.
21．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，，底面ABCD为直角梯形，其中，，，O为AD中点．
求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
求B点到平面PCD的距离．
线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，
【解析】
试题分析：（1）易得平面，所以即为所求．（2）由于，从而平面，所以可转化为求点到平面．（3）假设存在，过Q作，垂足为，过作，垂足为M，则即为二面角的平面角．设，利用求出，若，则存在，否则就不存在．
试题解析：（1） 在△PAD中PA="PD," O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD="AD,"平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又在直角梯形 中,易得;
所以以 为坐标原点,为 轴, 为 轴,
为轴建立空间直角坐标系．
则,, ，;
, 易证:,
所以平面的法向量,
所以与平面所成角的余弦值为
（2），设平面PDC的法向量为，
则，取 得
点到平面的距离
（3）假设存在，且设．
因为
所以，
设平面CAQ的法向量中，则
取，得．
平面CAD的一个法向量为，
因为二面角Q OC D的余弦值为，所以．
整理化简得：或（舍去），
所以存在，且
考点：空间的角与距离．
22．已知A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C的下顶点，F为其右焦点点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线轴以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N，连接FN交直线l于点点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．
求椭圆C的方程；
试问在x轴上是否存在一个定点T，使得直线MH必过该定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
根据题意可得，解得即可，假设在x轴上存在一个定点，设动点，根据直线与直线的垂直的斜率的关系以及直线的斜率公式即可求出
【详解】
由题意得，
，，所求椭圆的方程为．
假设在x轴上存在一个定点，使得直线MH必过定点，
设动点，由于M点异于A，B，故，
由点M在椭圆上，故有，
又由知，，
直线AM的斜率，
又点N是以线段AF为直径的圆与直线AM的交点，
．
直线FN的方程，
，即，
，H两点连线的斜率，
将式代入式，并整理得，
又P，T两点连线的斜率．
若直线MH必过定点，则必有恒成立，
即，
整理得，
将式代入式，
得，
解得，故直线MH过定点．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程，主要考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.