高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条 3页

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 22 221xy ab上，则过 0P 的椭圆的切线方程是 00 221x x y y ab. 6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程 是 . 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12F PF ，则椭圆的焦点 角形的面积为 12 2 tan 2F PFSb   . 8. 椭圆 （a＞b＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex , 20||MF a ex ( 1( ,0)Fc , 2 ( ,0)Fc 00( , )M x y ). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 2 2OM AB bkk a   ， 即 0 2 0 2 ya xbK AB  。 12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b   . 13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2 2 2 2 x x y yxy a b a b   . 双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若 在双曲线 22 221xy ab（a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 00 221x x y y ab. 6. 若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则 切点弦 P1P2 的直线方程是 00 221x x y y ab. 7. 双曲线 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ， 则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2F PFS b co    . 8. 双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , 当 在右支上时， 10||MF ex a, 20||MF ex a. 当 在左支上时， 10||MF ex a   , 20||MF ex a   9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于 点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xbKK ABOM  ，即 0 2 0 2 ya xbK AB  。 12. 若 在 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b   . 13. 若 在双曲线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2 2 2 2 x x y yxy a b a b   . 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 椭圆 22 221xy ab（a＞b＞o）的两个顶点为 1( ,0)Aa , 2 ( ,0)Aa ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 22 221xy ab. 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点 00( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC bxk ay （常数）. 3. 若 P 为椭圆 （a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, 12PF F , 21PF F ，则 tan t22 ac coac   . 4. 设椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2 中，记 12F PF , 12PF F , 12F F P ，则有 sin sin sin c ea   . 5. 若椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0＜e≤ 21 时，可在 椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 ， A 为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则 2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF     ,当且仅当 2,,A F P 三点共线时，等号成立. 7. 椭圆 22 00 22 ( ) ( ) 1x x y y ab 与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2 00()A a B b Ax By C    . 8. 已知椭圆 （a＞b＞0）， O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 OP OQ .（1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b   ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4ab ab ;（3） OPQS 的最小值是 22 22 ab ab . 9. 过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 || | | 2 PF e MN  . 10. 已知椭圆 （ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0( ,0)Px , 则 2 2 2 2 0 a b a bxaa    . 11. 设 P 点是椭圆 （ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 12F PF ，则 (1) 2 12 2| || | 1 cos bPF PF   .(2) 12 2 tan 2PF FSb   . 12. 设 A、B 是椭 圆 （ a＞b＞0） 的长 轴两 端点，P 是椭 圆上 的一 点， PAB , PBA , BPA ， c、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) 2 2 2 2 2 | cos ||| s abPA a c co    .(2) 2tan tan 1 e .(3) 22 22 2 cotPAB abS ba    . 13. 已知椭圆 （ a＞b＞0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 于 A、B 两点,点C 在右准线 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 高三数学备课组 双曲线 1. 双曲线 22 221xy ab（a＞0,b＞0）的两个顶点为 1( ,0)Aa , 2 ( ,0)Aa ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 22 221xy ab. 2. 过双曲线 （a＞0,b＞o）上任一点 00( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC bxk ay （常数）. 3. 若P为双曲线 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, 12PF F , 21PF F ，则 tan t22 ca coca   （或 tan t22 ca coca   ）. 4. 设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点， 在△PF1F2 中，记 12F PF , 12PF F , 12F F P ，则有 sin (sin sin ) c ea   . 5. 若双曲线 （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1＜e≤ 21 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 21| | 2 | | | |AF a PA PF   ,当且仅当 2,,A F P 三点共线且 P 和 2,AF在 y 轴同侧时，等号成立. 7. 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 与 直 线 0Ax By C   有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b C. 8. 已知双曲线 （b＞a ＞0）， O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ . （1） 2 2 2 2 1 1 1 1 | | | |OP OQ a b   ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为 22 22 4ab ba ;（3） OPQS 的最小值是 22 22 ab ba . 9. 过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂 直平分线交 x 轴于 P，则 || | | 2 PF e MN  . 10. 已知双曲线 （a＞0,b＞0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 交于点 0( ,0)Px , 则 22 0 abx a  或 22 0 abx a  . 11. 设 P 点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 12F PF ， 则(1) 2 12 2| || | 1 cos bPF PF   .(2) 12 2 cot 2PF FSb   . 12. 设 A、B 是双曲线 （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) 2 2 2 2 2 | cos |||| s | abPA a c co    . (2) 2tan tan 1 e .(3) 22 22 2 cotPAB abS ba    . 13. 已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与 双曲线相交于 A、B 两点,点C 在右准线 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.