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- 2021-04-27 发布
2019－2020 学年度第二学期期中
高二年级(理科)数学试题
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.若随机变量 ξ 的分布列如下表所示，则 p1＝( )
ξ －1 2 4
P p1
A. 0 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由分布列的性质：所有随机变量对应概率的和为 列方程求解即可.
【详解】因为所有随机变量对应概率的和为 ，
所以， ，
解得 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查分布列的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.
2.函数从 5 本不同的书中选出 2 本送给 2 名同学，每人 1 本，共有给法( )
A. 5 种 B. 10 种 C. 20 种 D. 60 种
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知从 5 个不同元素中取 2 个元素的排列数， 可的结果.
【详解】根据题意，本题即是从 5 个不同元素中取 2 个元素的排列数，即
故选 C.
【点睛】本题考查了排列数，属于基础题.
1
5
2
3
2
15
1
15
1
1
1 2
5 3
+ 1 1p+ =
1p = 2
15
2
5 20A =
2
5 20A =
3.袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，有放回地依次取出 2 个球，
设两个球号码之和为随机变量 ，则 所有可能值的个数是（ ）
A. 25 B. 10 C. 9 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
这是有放回的抽样，将号码之和的可能情况列举出来即可得到答案.
【详解】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,10
共 9 种情况
故选 C
【点睛】本题主要考查了有放回的抽样，属于基础题.
4.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不
同选法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由排列组合及简单的计数原理得：不同选法的种数是 56，得解．
【详解】每一位同学有 5 种不同的选择，则 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，
每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 56.
故选 B．
【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于基础题．
5.袋中有大小完全相同的 2 个白球和 3 个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”
为事件 ，“摸得的两球同色”为事件 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
X X
56 65 5
6A 5
5A
A B ( )P B A =
1
10
1
5
1
4
2
5
= ,选 C.
6.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由 ，再由其展开式求出第三项系数即可.
【详解】解：因为
第三项
所以
故选 D.
【点睛】本题考查了二项式定理的系数问题，属于基础题.
7.10 个人排队，其中甲、乙、丙、丁 4 人两两不相邻的排法
A. 种 B. － 种
C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】
不相邻问题采用“插空法”.
【详解】解：∵10 个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁 4 人两两不相邻排成一排，
∴采用插空法来解，
另外六人，有 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，
有 种结果，
根据分步计数原理知共有 • ，
故选 C．
为
( )P B A
2 1
( ) 15 4
2( ) 4
5
P AB
P A
×
×= =
( ) ( ) ( ) ( )5 2 5
0 1 2 51 1 1 1x a a x a x a x− = + + + + + + + 2a =
20 20− 80 80−
( ) ( ) ( )5 551 1 2 2 1x x x − = + − = − + +
( ) ( ) ( )5 551 1 2 2 1x x x − = + − = − + +
( ) ( )3 22
5 2 1C x− +
( )32
2 5 2 80a C= − = −
5 4
5 7A A 10
10A 7 4
7 4A A
6 4
6 7A A 6 4
6 6A A
6
6A
4
7A
6
6A 4
7A
【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用
插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．
8.若 的展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是( )
A. 792 B. -792 C. 330 D. -330
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得 ，写出二项展开式的通项，求得 ，进而求得答案．
【详解】因为 的展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大，所以
通项为 ，
令 得
所以展开式中含 项的系数是
故选 C.
【点睛】本题考查二项展开式的系数，解题的关键是求出 ，属于简单题．
9.《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了 6 户家庭分配到 4 个村
庄体验农村生活，要求将 6 户家庭分成 4 组，其中 2 组各有 2 户家庭，另外 2 组各有 1 户家
庭，则不同的分配方案的总数是（ ）
A. 216 B. 420 C. 720 D. 1080
【答案】D
【解析】
先分组，每组含有 2 户家庭的有 2 组，则有 种不同的分组方法，剩下的 2 户家庭可以
直接看成 2 组，然后将分成的 4 组进行全排列，故有 种不同的分配方
案．
点睛：本题考查组合和排列的综合应用题，本题的难点是平均分组，要求搞清“平均分组”，
如本题中将 6 个元素分成 4 组，其中有两组含 2 个元素，所以涉及平均分组，即有 种
1( )nx x
− 3x
11n = 4r =
1( )nx x
− 11n =
( )11 11 2
1 11 11
1 1
r
rr r r r
nT C x C xx
− −
+
= − = −
11 2 3r− = 4r =
3x ( ) ( )4 4
11 111 1 330r rC C− = − =
,n r
2 2
6 4
2
2
C C
A
2 2
46 4
42
2
1080C C AA
× =
2 2
6 4
2
2
C C
A
不同的分组方法.
10.从只有 3 张中奖彩票的 10 张彩票中不放回地随机逐张抽取,设 X 表示直至抽到中奖彩票时
抽奖的次数,则 P(X=3)等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
确定从只有 3 张中奖的 10 张彩票中不放回随机逐张抽取，所有的情况；前两次没有中奖，最
后一次中奖的情况，利用古典概型概率公式，即可求解
【详解】因为从只有 3 张中奖的 10 张彩票中不放回随机逐张抽取，那么所有的情况为 ，
而 X 表示直至抽到中奖彩 票时的次数为 3，那么前两次没有中奖，最后一次中奖的情况为
，
因此概率值为 ，
故选 D．
【点睛】等可能事件的概率计算，关键是确定基本事件的情况总数．
11.设随机变量 ~ ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二项分布的概率公式计算．
【 详 解 】
．
故选：A．
【点睛】本题考查二项分布的概率公式，考查互斥事件概率公式，属于基础题．
12.在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶．现有 5 发子弹，第一次命中只
3
10
7
10
21
40
7
40
3
10A
1 1 1
7 6 3C C C
7
40
η 1(4, )3B ( 2)P η ≥
11
27
32
81
65
81
16
81
2 2 2 3 3 4 4
4 4 4
1 2 1 2 1 11( 2) ( 2) ( 3) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 27P P P P C C Cη η η η≥ = = + = + = = + × + =
能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是 ．则打光子弹
的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
打光所有子弹，分中 0 次、中一次、中 2 次．
【详解】5 次中 0 次：
5 次中一次：
5 次中两次： 前 4 次中一次，最后一次必中
则打光子弹的概率是 + + = ,选 B
【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.设随机变量 的概率分布列为则 _________.
1 2 3 4
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知， ，解得 ；解方程 得， 或
3
4
9
256
13
256
45
512
9
1024
51
4
4
1
5
3 1
4 4C × ×
3
1
4
3 3 1
4 4 4C × × ×
51
4
4
1
5
3 1
4 4C × ×
3
1
4
3 3 1
4 4 4C × × ×
13
256
X ( )3 1P X − = =
X
P
1
3 m 1
4
1
6
5
12
1 1 1 13 4 6m+ + + = 1
4m = 3 1X − = 4X =
，
则 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了分布列的性质.本题的关键是结合分布列的性质求出参数的值.
14.二项式 展开式中各项的系数和为________.
【答案】32
【解析】
【分析】
根据赋值法，取 即可求出展开式中各项的系数和.
【详解】设 ，
令 ，
可得 ，
即二项式 的展开式中各项的系数和为 32，
故答案为：32
【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，赋值法是解决此类问题的关键，属于容易题.
15.设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一次
的概率为 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为_____.
【答案】
【解析】
分析：假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为 p，由题意得，
事件 A 发生的次数 X～B（3，p），由此能求出事件 A 恰好发生一次的概率．
详解：假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功，
设每次试验成功的概率为 p，由题意得，事件 A 发生的次数 X～B（3，p），
则有 1﹣（1﹣p）3= ，得 p= ，
则事件 A 恰好发生一次的概率为 .
的
2
( ) ( ) ( ) 1 1 53 1 2 4 4 6 12P X P X P X− = = = + = = + =
5
12
51( )x x
+
1x =
5 2 5
0 1 2 5
1( ) a a x a x xx ax
= + + ++ +
1x =
5
0 1 52 a a a= + + +
51( )x x
+
63
64
9
64
63
64
3
4
1 2
3
3 3 9(1 )4 4 64C × × − =
故答案为： ．
点睛：（1）本题主要考查独立重复性试验的概率，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 在
一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 次独立重复试验中这个事件发生的次数
是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这
个事件恰好发生 次的概率是: ，（ ）．正好是二
项式 的展开式的第 项.所以记作 ～ ，读作 服从二项分布，其中
为参数.
16. 学校体育组新买 2 个同样篮球，3 个同样排球，从中取出 4 个发放给高一 4 个班，每班 1
个，则共有______种不同的发放方法.
【答案】10
【解析】
试题分析：分 1 个篮球 个排球和 2 个篮球 2 个排球两种情况. .
考点：排列组合.
三、解答题
17.7 名学生，按照不同的要求站成一排，求下列不同的排队方案有多少种．
（1）甲、乙两人必须站两端；
（2）甲、乙两人必须相邻.
【答案】（1）240；（2）1440
【解析】
【分析】
（1）先安排特殊元素甲乙，再全排列即可；
（2）利用捆绑法，先把甲乙视作一个元素，再与其他元素全排列即可.
【详解】（1）甲、乙 特殊元素，先将他们排在两头位置，有 种站法，
其余 5 人全排列，有 种站法．故共有 ＝240 种不同站法．
（2）把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余 5 人相当于六个元素进行全排列，
然后甲、乙两人再进行排列，所以共有 ＝1 440 种站法．
【点睛】本题主要考查排列的实际运用，注意受限制的元素或位置要优先排，其次要掌握特
为
9
64
n
ξ P n
K ( ) (1 )k k n k
n nP k C p pξ −= = − 0,1,2,3,...k n=
[(1 ) ]np p− + 1k + ξ ( , )B n p ξ
,n p
3 1 2
4 4 10C C+ =
2
2A
5
5A 2
2A 5
5A
6
6A 2
2A
殊问题的处理方法,如相邻问题用捆绑法，属于中档题,
18.已知 ，求
（1） 的值；
（2） 的值.
【答案】（1） ；（2）1093
【解析】
分析】
（1）取 代入，即可得出 的值；
（2）观察数列，利用赋值法求解即可.
【详解】（1）令 ，则 ；
（2）令 ，则 ①
令 ，则
②
由① ②得 ，即
【点睛】本题主要考查了二项式定理在数列求和中的应用，属于中档题.
19.已知 的展开式中前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求 n 的值；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）8（2） ，
【解析】
【详解】解：（Ⅰ）由题设，得 ，
即 ，解得 n＝8，n＝1（舍去）．
【
7 2 7
0 1 2 7(1 2 )x a a x a x a x− = + + + +
0 1 7a a a+ +…+
0 2 4 6a a a a+ + +
1−
1x = 0 1 7a a a+ +…+
1x = ( )7
0 1 7 1 2 1a a a+ +… = − −=
1x = − 0 1 2 3 6 7 2187a a a a a a− + − +…+ − =
0x = 0 1a =
1 2 3 7 2a a a a∴ + + +… = −
+ ( )0 2 4 62 2187 2 2185a a a a+ + + = − = 2 4 6 1092a a a =+ +
0 2 4 6 1 1092 1093a a a a∴ + + + = + =
1( )
2
nx
x
+
5
3 7T x= 9
2
4 7T x=
0 2 11 1C C 2 C4 2n n n
+ × = × ×
2 9 8 0n n− + =
（Ⅱ）设第 r＋1 的系数最大，则
即 解得 r＝2 或 r＝3．
所以系数最大的项为 ， ．
20.设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再
放回，若以 表示取出次品的个数．求 X 的分布列.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
写出 的可能值为 0，1，2，分别求出 ， ， 的值，从而可求
出分布列.
【 详 解 】 解 ： 的 可 能 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 若 ， 表 示 没 有 取 出 次
品, ，
同理，有 , .∴X 的分布列为
X 0 1 2
P
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了无放回类型概率的求解.求分布列时，
一般写出变量的可能取值，然后求出每种取值下的概率，从而可求出分布列.
21.某高三年级学生为了庆祝教师节,同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种
工艺品有 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若 项技术指标
达标的概率为 项技术指标达标的概率为 ，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工
艺品为合格品.
1
8 81
1
8 81
1 1C C2 2{ 1 1C C .2 2
r r
r r
r r
r r
+
+
−
−
≥
≥
，
1 1
8 2( 1){
1 1 .2 9
r r
r r
≥− +
≥ −
，
5
3 7T x= 9
2
4 7T x=
X
X ( )0P X = ( )1P X = ( )2P X =
X X 0=
( ) 0 3
2 10
3
12
60 11
C CP X C
= = =
( ) 1 2
2 10
3
12
91 22
C CP X C
= = = ( ) 2 1
2 10
3
12
12 22
C CP X C
= = =
6
11
9
22
1
22
A、B A
3 ,4 B 8
9
（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该工艺品 4 个，设 表示其中合格品的个数，求 的分布列.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)结合对立事件的概率关系可求出至少一项技术指标达标的概率；
(2)由题意知， ，从而可求出 ， ， ， ，
的值，从而可求出分布列.
【详解】(1)设 一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则
；
(2)依题意知 ，则 ， ，
， ，
分布列为：
0 1 2 3 4
【点睛】本题考查了独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列求解.本题关键是求出
每种可能取值下的概率.求离散型随机变量的分布列时，第一步写出变量的可能取值，第二步
求出每种取值下的概率，第三步写出分布列.
22.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个
白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸
出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
（1）求在 1 次游戏中,
ξ ξ
35
36
2~ 4, 3Bξ
( )0P ξ = ( 1)P ξ = ( )2P ξ = ( )3P ξ =
( )4P ξ =
:M
3 8( ) 1- 1 14 9 36
35P M = − × − =
2~ 4, 3Bξ
41 1( 0) 3 81P ξ = = =
1 3
1
4
2 1 8( 1) 3 3 81P Cξ = = =
( ) 2 2
2
4
2 1 82 3 3 27P Cξ = = =
( ) 3
3
4
2 1 323 3 3 81P Cξ = = =
( ) 42 164 3 81P ξ = = =
ξ
P
1
81
8
81
8
27
32
81
16
81
ξ
①摸出 3 个白球的概率;
②获奖的概率;
（2）求在 2 次游戏中获奖次数 的分布列.
【答案】（I）（i） ；（ii） （II）X 的分布列见解析，数学期望
【解析】
解：(1)①设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0,1,2,3)，则 P(A3)＝ · ＝ .
②设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3，又
P(A2)＝ ＋ · ＝ ，且 A2，A3 互斥，所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝ ＋ ＝ .
(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2，
P(X＝0)＝ 2＝ ，
P(X＝1)＝C21· ＝ ，
P(X＝2)＝ 2＝ ，
所以 X 的分布列是
X 0 1 2
P
X 的数学期望 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
X
1.5
7 .10
5
7
2
3
2
5
C
C
1
2
2
3
C
C
1
5
2 2
3 2
2 2
5 3
C C
C C
1 1
3 2
2
5
C C
C
1
2
2
3
C
C
1
2
1
2
1
5
7
10
71 10
−
9
100
7
10
71 10
−
21
50
7
10
49
100
9
100
21
50
49
100
9
100
21
50
49
100
7
5