新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-3-5　平面向量数量积的坐标表示 17页

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积. 2.能应用数量积表示两个平面向量的夹 角.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量垂直.(难 点) 1.借助平面向量数量积的坐标表示向量的模及 夹角,判断它们的垂直关系,培养直观想象核心 素养. 2.通过利用向量垂直、夹角的坐标表示求参数, 培养逻辑推理核心素养. “我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见 每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”,如果能为平 面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表 示. 问题:数量积有什么作用呢? 答案 求线段的长度,判断垂直关系,求夹角. 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为θ. 坐标表示 数量 积 a·b=①x1x2+y1y2 垂直 a⊥b⇔②x1x2+y1y2=0 模 |a|2= 1 2 + 1 2 或|a|= 1 2 + 1 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=③ (2-1) 2 + (2-1) 2 夹角 cosθ= · |||| = x1x2+y1y2 x1 2 +y1 2 x2 2 +y2 2 思考 1:若 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(x,y),则 的模表示什么? 提示 易知 =(x,y),则| |= 2 + 2 ,即点 A 到原点的距离. 思考 2:若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 与 a⊥b 的坐标表示的区别是什么? 提示 a∥b⇔x1y2=x2y1,即 x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相 等;a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,同名积的和为 0,即横横纵纵积相反. 探究一 数量积的坐标运算 例 1 已知 a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)·(a-2b)= . 答案 -15 解析 解法一:∵a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13, ∴(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2), ∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3), ∴(3a-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)×3=-15. (变条件,变问法)若存在向量 c,满足 a·c=2,b·c=5,则向量 c= . 答案 (-1,-4) 解析 设 c=(x,y),因为 a·c=2,b·c=5, 所以 2- = 2, 3-2 = 5, 解得 = -1, = -4, 所以 c=(-1,-4). 思维突破 向量数量积坐标运算的途径 进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是 先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再 依据已知条件计算. 1-1 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C ∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b=(1,0),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. 1-2 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b·c)·a. 解析 (1)因为 a 与 b 同向,又 b(1,2),所以设 a=λb,则 a=(λ,2λ).又因为 a·b=10,所以 1×λ+2×2λ=10,解得λ=2>0,又λ=2 符合 a 与 b 同向,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,∴(b·c)·a=0·(2,4)=0. 探究二 平面向量的模与垂直问题 例 2 (1)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 | +3 |的最小值为 . (2)已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求| |与点 D 的坐 标. 答案 (1)5 解析 (1)以直线 DA,DC 分别为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,如图所示. 则 A(2,0),D(0,0),设 CD=a,则 B(1,a),C(0,a), 设 P(0,b)(0≤b≤a),则 =(2,-b), =(1,a-b), 所以 +3 =(5,3a-4b), 所以| +3 |= 25 + (3-4) 2 ≥5, 所以| +3 |的最小值为 5. (2)设点 D 的坐标为(x,y). ∵A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1), ∴ =(x-2,y+1), =(-6,-3), =(x-3,y-2). ∵D 在直线 BC 上,∴ 与 共线, ∴存在实数λ,使 =λ , 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3), ∴ -3 = -6, -2 = -3,∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0.① 又∵AD⊥BC,∴ · =0, ∴(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, ∴2x+y-3=0.② 由①②可得 = 1, = 1,∴点 D 的坐标为(1,1),∴ =(-1,2), ∴| |= (-1) 2 + 2 2 = 5 . 思维突破 1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算. (2)坐标表示:若 a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|= 2 + 2 . 2.利用向量解决垂直问题的步骤 (1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来. (2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量. (3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值. (4)还原要解决的几何问题. 2-1 已知向量 a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)⊥a,则|a-2b|= . 答案 2解析 ∵a-2b=(-1,2-x),且(a-2b)⊥a, ∴(a-2b)·a=-1+x(2-x)=-x2+2x-1=0,∴x=1, ∴a-2b=(-1,1), ∴|a-2b|= 2 . 2-2 已知三点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 的对角线的长度. 解析 (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴ =(1,1), =(-3,3), 则 · =1×(-3)+1×3=0, ∴ ⊥ ,即 AB⊥AD. (2)∵ ⊥ ,四边形 ABCD 为矩形, ∴ = . 设点 C 的坐标为(x,y),则 =(x+1,y-4),从而有 + 1 = 1, -4 = 1, 解得 = 0, = 5,∴点 C 的坐标为(0,5),∴ =(-2,4), ∴| |= (-2) 2 + 4 2 =2 5 , ∴矩形 ABCD 的对角线的长度为 2 5 . 探究三 向量的夹角问题 例 3 (易错题)已知向量 a=(2,1),b=(1,k),且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值范 围是( ) A.(-2,+∞) B. -2, 1 2 ∪ 1 2 , + ∞ C.(-∞,-2) D.(-2,2) 答案 B 解析 当 a 与 b 共线时,2k-1=0, ∴k= 1 2 , 此时 a 与 b 方向相同,夹角为 0°, 所以要使 a 与 b 的夹角为锐角, 则有 a·b>0 且 a,b 不同向. 由 a·b=2+k>0,得 k>-2,且 k≠ 1 2 , 即实数 k 的取值范围是 -2, 1 2 ∪ 1 2 , + ∞ . 1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数 k 的取值范 围. 解析 当 a 与 b 共线时,-2k-1=0, ∴k=- 1 2 , 此时 a 与 b 方向相反,夹角为 180°,所以要使 a 与 b 的夹角为钝角,则有 a·b<0, 且 a 与 b 不反向.由 a·b=-2+k<0,得 k<2. 由 a 与 b 不反向得 k≠- 1 2 , 所以 k 的取值范围是 - ∞ ,- 1 2 ∪ - 1 2 ,2 . 2.(变条件)将本例中的条件“a 与 b 的夹角为锐角”改为“ (a+b)⊥(a-b)”,求实数 k 的值. 解析 ∵a=(2,1),b=(1,k), ∴(a+b)=(3,1+k),a-b=(1,1-k). ∵(a+b)⊥(a-b), ∴(a+b)·(a-b)=(3,1+k)·(1,1-k)=0, ∴3+(1-k2)=0, ∴k=2 或 k=-2. 易错点拨 常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分. 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模:若 a=(x,y),则用|a|= 2 + 2 计算两向量的模. (3)求夹角的余弦值:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a 与 b 的夹角,则利用公式 cosθ= 12+12 1 2 +1 2 · 2 2 +2 2 可求夹角的余弦值. (4)求角:利用向量夹角的范围及 cosθ,求θ的值. 3-1 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, = 3 2 , 1 2 ,若 绕点 O 逆时针旋转 60°得到向 量 ,则 =( ) A.(0,1) B.(1,0) C. 3 2 ,- 1 2 D. 1 2 ,- 3 2答案 A ∵在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, = 3 2 , 1 2 , ∴sin∠AOx= 1 2 ,cos∠AOx= 3 2 ,∴∠AOx=30°,即 和 x 轴的夹角为 30°. 若 绕点 O 逆时针旋转 60°得到向量 , 则∠BOx=30°+60°=90°. 设 =(0,b),∴ · =1×1×cos60°=0+ 1 2 b, ∴b=1,∴ =(0,1). 1.已知向量 a=(x-5,3),b=(2,x),且 a⊥b,则由 x 的值构成的集合是( ) A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6} 答案 C ∵a=(x-5,3),b=(2,x),且 a⊥b, ∴a·b=2(x-5)+3x=0, 解得 x=2, 故由 x 的值构成的集合是{2}. 2.(2019 课标全国Ⅲ,13,5 分)已知向量 a=(2,2),b=(-8,6),则 cos= . 答案 - 2 10解析 由题意知 cos= · || · || = 2 × (-8)+2 × 6 22+22 × (-8)2+62 =- 2 10 . 3.(2020 课标全国Ⅰ理,14,5 分)设 a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 答案 3解析 由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即 a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故 a·b=- 1 2 ,|a- b|= |-| 2 = a 2 + b 2 -2a · b = 1 + 1 + 1 = 3 . 4.设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|= . 答案 2解析 由题知,a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0,即 3(m+1)+3m=0, 解得 m=- 1 2 ,∴a=(1,-1),∴|a|= 2 . 5.若向量 a 的始点为 A(-2,4),终点为 B(2,1),求: (1)向量 a 的模; (2)与 a 平行的单位向量的坐标; (3)与 a 垂直的单位向量的坐标. 解析 (1)∵a= =(2,1)-(-2,4)=(4,-3), ∴|a|= 4 2 + (-3) 2 =5. (2)与 a 平行的单位向量是± || =± 1 5 (4,-3), 即 4 5 ,- 3 5 或 - 4 5 , 3 5 . (3)设与 a 垂直的单位向量为 e=(m,n), 由(1)知,a·e=4m-3n=0, ∴ = 3 4 ,① 又∵|e|=1,∴m2+n2=1,② 由①②解得 = 3 5 , = 4 5 或 = - 3 5 , = - 4 5 ,∴e= 3 5 , 4 5 或 e= - 3 5 ,- 4 5 . 数学运算——利用数形结合思想解决几何问题 如图所示,在矩形 ABCD 中,AB= 2 ,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 · = 2 ,则 · 的值是 . 答案 2解析 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系. 则 B( 2 ,0),D(0,2),C( 2 ,2),E( 2 ,1). 可设 F(x,2),因为 · =( 2 ,0)·(x,2)= 2 x= 2 , 所以 x=1,所以 F(1,2),所以 · =( 2 ,1)·(1- 2 ,2)= 2 . 素养探究:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,根据图形的特征建立坐标系, 并写出相应点的坐标即可求解,过程中体现了数学运算的核心素养. 已知 ⊥ ,| |= 1 (t>0),| |=t,若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且 = | | + 4 | | ,则 · 的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21 答案 A 以 A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则 B 1 ,0 (t>0),C(0,t),∴ = 1 ,0 , =(0,t), ∴ = | | + 4 | | =t 1 ,0 + 4 (0,t)=(1,4),∴P(1,4), 则 · = 1 -1,-4 ·(-1,t-4)=17- 1 + 4t ≤17-2 1 · 4t =13, 当且仅当 t= 1 2 时,取“=”.故 · 的最大值为 13.故选 A. 1.已知向量 a=(0,-2 3 ),b=(1, 3 ),e 是与 b 方向相同的单位向量,则向量 a 在 b 方向上的 投影向量为( ) A. 3 e B.3e C.- 3 e D.-3e 答案 D 2.已知向量 a=(1, 3 ),b=(-2,2 3 ),则 a 与 b 的夹角是( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2答案 C 3.在▱ABCD 中,已知 =(-4,2), =(2,-6),那么|2 + |=( ) A.5 5 B.2 5 C.2 10 D. 85答案 D 设 =a, =b, 则 a+b= =(-4,2),b-a= =(2,-6), 所以 b=(-1,-2),a=(-3,4), 所以 2 + =2a+b=(-7,6), 所以|2 + |= (-7) 2 + 6 2 = 85 . 4.(多选题)设向量 a=(1,0),b= 1 2 , 1 2 ,则下列结论中不正确的是( ) A.|a|=|b| B.a·b= 2 2C.a-b 与 b 垂直 D.a∥b 答案 ABD 由题意知|a|= 1 2 + 0 2 =1, |b|= 1 2 2 + 1 2 2 = 2 2 , a·b=1× 1 2 +0× 1 2 = 1 2 , (a-b)·b=a·b-|b|2= 1 2 - 1 2 =0,故 a-b 与 b 垂直.故选 ABD. 5.已知 A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 答案 A 由题意知 =(8,-4), =(2,4), =(-6,8), ∴ · =8×2+(-4)×4=0,∴ ⊥ ,∴∠BAC=90°, 故△ABC 是直角三角形. 6.已知向量 =(3,-1),n=(2,1),且 n· =7,则 n· = . 答案 2 解析 ∵ =(3,-1),n=(2,1), 且 n· =7, ∴n· =n·( - )=n· -n· =7-(2,1)×(3,-1)=7-5=2. 7.已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 的夹角θ的余弦值等于 . 答案 16 65解析 设 b=(x,y),∵a=(4,3), ∴2a+b=(8+x,6+y),又 2a+b=(3,18), ∴ 8 + = 3, 6 + = 18, 解得 = -5, = 12,∴b=(-5,12), ∴a·b=16, |b|= (-5) 2 + 12 2 =13. 又|a|= 4 2 + 3 2 =5, ∴cosθ= · |||| = 16 65 . 8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 · 的值为 , · 的 最大值为 . 答案 1;1 解析 如图,以 D 为坐标原点,建立平面直角坐标系. 则 D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 设 E(1,a)(0≤a≤1), 所以 · =(1,a)·(1,0)=1, · =(1,a)·(0,1)=a≤1, 故 · 的最大值为 1. 9.已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5 ,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5 2 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ. 解析 (1)设 c=(x,y), ∵|c|=2 5 ,∴ 2 + 2 =2 5 , ∴x2+y2=20.① ∵c∥a,∴y-2x=0,② 联立①②,得 -2 = 0, 2 + 2 = 20,解得 = 2, = 4 或 = -2, = -4.故 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)·(2a-b)=0, ∴2a2+3a·b-2b2=0. ∵a=(1,2),|b|= 5 2 , ∴a2=5,b2= 5 4 ,∴a·b=- 5 2 , ∴cosθ= · |||| = - 5 2 5 × 5 2 =-1, ∴θ=180°. 10.已知向量 =(2,2), =(4,1),在 x 轴上有一点 P,使 · 有最小值,则点 P 的坐标是 ( ) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 答案 C 设 P(x,0),则 =(x-2,-2), =(x-4,-1), ∴ · =(x-2)(x-4)+2=(x-3)2+1, 故当 x=3 时, · 最小, 此时点 P 的坐标为(3,0). 11.(多选题)已知 =(4,2), =(k,-2),若△ABC 为直角三角形,则 k 等于( ) A.1 B.6 C.2 D.3 答案 AB = - =(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若∠A 为直角,则 · =4k-4=0,所以 k=1. 若∠B 为直角,则 · =(-4,-2)·(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以 k=6. 若∠C 为直角,则 · =(-k,2)·(4-k,4)=k2-4k+8=0,方程无解. 综上可知,k 的值为 1 或 6. 12.已知 =(-3,1), =(0,5),且 ∥ , ⊥ ,O 为坐标原点,则点 C 的坐标是( ) A. -3,- 29 4 B. -3, 29 4C. 3, 29 4 D. 3,- 29 4答案 B 设 C(x,y),则 =(x,y). 又 =(-3,1), ∴ = - =(x+3,y-1). ∵ ∥ , =(0,5), ∴5(x+3)-0·(y-1)=0,∴x=-3. 又 = - =(x,y-5), = - =(3,4), ⊥ ,∴3x+4(y-5)=0,∴y= 29 4 , ∴点 C 的坐标是 -3, 29 4 . 13.设非零向量 a 与 b 的夹角是 5π 6 ,且|a|=|a+b|,则当 t= 时, |2+| || 取得最小值 为 . 答案 1; 3 3解析 因为非零向量 a 与 b 的夹角是 5π 6 , 且|a|=|a+b|, 所以|a|2=|a+b|2 =|a|2+|b|2+2|a||b|cos 5π 6 , 所以|b|2- 3 |a||b|=0, 所以|b|= 3 |a|, 所以 |2+| || 2 = 4||2 +t2 ||2 +4t · ||2 = 4||2 +t2 · 3||2 -6t||2 3||2 =t2-2t+ 4 3 =(t-1)2+ 1 3 , 所以当 t=1 时, |2+| || 取得最小值,为 1 3 = 3 3 . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( -t )· =0,求 t 的值. 解析 (1)解法一:由题设知 =(3,5), =(-1,1), 则 + =(2,6), - =(4,4), 所以| + |=2 10 ,| - |=4 2 . 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 ,2 10 . 解法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则 E 为 BC 的中点,所以 E(0,1), 又 E(0,1)为 AD 的中点,所以 D(1,4). 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2 ,AD=2 10 . (2)由题设知 =(-2,-1), -t =(3+2t,5+t). 解法一:由( -t )· =0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 化简得 5t=-11,所以 t=- 11 5 . 解法二:根据题意,知 · =t 2 , =(3,5), =(-2,-1),所以 t= · | |2 =- 11 5 . 15.如图,摄影爱好者在某公园 A 处发现正前方 B 处有一根立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和 立柱底部 B 的俯角均为 π 6 ,设摄影爱好者的眼睛(记为 S)距离地面的高度为 3 m. (1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2)立柱的顶端有一根长为 2 米的彩杆 MN,绕其中点 O 在 SA 与立柱所在的平面内旋转.摄影 爱好者有一视角范围为 π 3 的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者是否都可以将彩杆全 部摄入画面?说明理由. 解析 (1)如图,作 SC⊥OB 于点 C, 根据题意,知∠CSB= π 6 ,∠CSO= π 6 , ∴∠ASB= π 3 , 又 SA= 3 m,∴在 Rt△SAB 中,BA= tan30 ° =3m, 即摄影爱好者到立柱的水平距离为 3m. 由 SC=3m,∠CSO= π 6 ,得在 Rt△SCO 中,OC=SC·tan π 6 = 3 m, 又 BC=SA= 3 m,∴OB=2 3 m,即立柱的高度为 2 3 m. (2)是.理由:如图,以 O 为坐标原点,以水平方向向右为 x 轴正方向建立平面直角坐标系.连 接 SM,SN. 设 M(cosθ,sinθ),θ∈[0,π), 则 N(-cosθ,-sinθ), 由(1)知 S(3,- 3 ), ∴ =(cosθ-3,sinθ+ 3 ), =(-cosθ-3,-sinθ+ 3 ), ∴ · =(cosθ-3)(-cosθ-3)+(sinθ+ 3 )(-sinθ+ 3 )=11, | |·| |= 169-48cos 2 + π 6 ∈[11,13]. ∴cos∠MSN∈ 11 13 ,1 , ∴0<∠MSN< π 3 恒成立. 故在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者都可以将彩杆全部摄入画面.