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- 2021-04-27 发布
2019-2020学年度第二学期期中调研考试
高二数学
一、单选题：(本大题9小题，共45分)
1．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果(，表示虚数单位)，那么（ ）
A．1 B． C．2 D．0
3．已知函数的导函数为，且满足，则为（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）
A． B． C． D．1
6．二项式展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
7．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有( )
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
8．由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）
A．36个 B．42个 C．48个 D．120个
9．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：(本大题3小题，共15分)
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．-3是的一个极小值点 B．-2和-1都是的极大值点
C．的单调递增区间是 D．的单调递减区间是
12．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
三、填空题：(本大题4小题，共20分)
13．___________。
14．函数在其极值点处的切线方程为____________。
15．设，，，，若的内角满足，则= 。
16．设函数，若无最大值，则实数的取值范围是____________。
四、解答题(本大题6小题，共70分)
17．（1）计算：
（2）解方程：．
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值。
19．已知数列满足，.
（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论。
20．毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：
（1）、两人不排在一起，有几种排法？
（2）、两人必须排在一起，有几种排法？
（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？
21．如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为。
（1）①设，将表示为关于的函数；
②设，将表示为关于的函数；
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？
22．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围。
2019-2020学年度第二学期高二下学期数学期中考试参考答案
1.C 2.B 3. 4. 5.A 6. 7.A 8.B 9.
10．AC 11．ACD 12．BCD
13．31 14． 15．
16．【分析】f′（x），
令f′（x）＝0，则x＝±1，
若f（x）无最大值，则，或，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
17．解：
=
（2），
，
化简得，
解得（不合题意，舍去）；
∴．……………………10分
18．解：函数的定义域为,
(1)当时，，
， ……………………2分
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即
. ……………………5分
(2)由知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；…………7分
②当时，由，解得，
又当时，；
当时，，
从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．………9分
综上，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值．………10分
19．（1）解：当时，；
当时，；
当时，，……………………3分
由此可以猜想，.……………………5分
（2）下面用数学归纳法证明：
①当时，，显然成立；……………………6分
②假设当时猜想成立，即。……………………7分
则当时,, ……………11分
所以当时猜想也成立；
由①②可知，猜想成立，即.……………12分
20．解：（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为； ……………………4分
（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，
因此，排法种数为；……………………8分
（3）分以下两种情况讨论：
①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；
②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.
综上所述，共有种不同的排法种数. ……………………12分
21．解：（1）延长交于点，则，且为的中点，
所以，由对称性可知，.
①若，则，，
在中，，
所以，……………4分
②若，则，
在中，，，
所以，
所以.……………8分
（2）选取①中的函数关系式，
记
则由得。……………10分
当时，此时单调递减，
当时，此时单调递增，
所以当时，取得最小值。
从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. ……………12分
选取②中的函数关系式，，
记，
则由及可得，，……………10分
当时，此时单调递减，
当时，此时单调递增，
所以当时，取得最小值，
从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. ……………12分
22．解：（1），
当时，，
，
单调递减区间为，单调递增区间为，
时，取得极小值，也是最小值，
的最小值为。 …………2分
（2）当时，，
令或， …………3分
若时，恒成立，函数单调递减区间是，无递增区间。
若时，，当或时，，
当时，，
即函数递减区间是，递增区间是。
若时，，当或时，，
当时，，
即函数递减区间是，递增区间是。
综上，若时，函数的递减区间是，无递增区间；
若时，函数的递减区间是，递增区间是；
若时，函数的递减区间是，递增区间是。…………6分
（3）当时，设函数，
则，设，
当时，为增函数，
在为增函数，
在区间上递增，
函数在上的值域为，
，
在上至少有两个不同的根，…………8分
即方程在上至少有两个不同的根，
记（，则
，
在恒正，
在区间上单调递增，
要使在上有两个不同的根则必存在使得，
函数在区间上单调递减，在上单调递增，且同时满足
①
②
③
由①式得， ……………………10分
由③得代入②得
，化简得
设，（）则
，
当时，
在上单调递增，
又
的解集为，
函数的导函数在上恒大于0，
函数在上单调递增，
又
即实数的取值范围是 …………12分
又当时，在区间上存在
即方程在区间和上各有一个实根。
综上所述：实数的取值范围是
…………14分
（注：若用分离参数酌情给分）。